[논문 리뷰] New and Simplified Distributed Algorithms for Weighted All Pairs Shortest Paths

Udit Agarwal, Vijaya Ramachandran|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Congest 모델 하에서 가중치가 있는 그래프에서 전쌍 최단경로(APSP) 및 k-원천 최단경로를 계산하기 위한 새로운 결정적 및 랜덤화된 분산 알고리즘을 제시한다. 개선된 차단자 집합 계산과 가중치 변환을 통해 파ipel라인 알고리즘을 강화함으로써, 하한선이 $$n^{3/2}$$ 이하인 라운드 수를 달성한다: 간선 가중치가 ≤ λ인 경우 APSP에 대해 $$\tilde{O}(\lambda^{1/4}n^{5/4})$$ 라운드, 최단경로 거리 Δ가 유한한 경우 $$\tilde{O}(n(\Delta \log^2 n)^{1/3})$$ 라운드를 달성하며, 동일한 라운드 수로 0-가중치 간선 처리 및 $$(1+\epsilon)$$-근사값 계산도 가능하다: $$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$$ 라운드.

ABSTRACT

We consider the problem of computing all pairs shortest paths (APSP) and shortest paths for k sources in a weighted graph in the distributed CONGEST model. For graphs with non-negative integer edge weights (including zero weights) we build on a recent pipelined algorithm to obtain $ ilde{O}(λ^{1/4}\cdot n^{5/4})$ in graphs with non-negative integer edge-weight at most $λ$, and $ ilde{O}(n \cdot \bigtriangleup^{1/3})$ rounds for shortest path distances at most $\bigtriangleup$. Additionally, we simplify some of the procedures in the earlier APSP algorithms for non-negative edge weights in [HNS17,ARKP18]. We also present results for computing h-hop shortest paths and shortest paths from $k$ given sources. In other results, we present a randomized exact APSP algorithm for graphs with arbitrary edge weights that runs in $ ilde{O}(n^{4/3})$ rounds w.h.p. in n, which improves the previous best $ ilde{O}(n^{3/2})$ bound, which is deterministic. We also present an $ ilde{O}(n/ε^2)$-round deterministic $(1+ε)$ approximation algorithm for graphs with non-negative $poly(n)$ integer weights (including zero edge-weights), improving results in [Nanongkai14,LP15] that hold only for positive integer weights.

연구 동기 및 목표

• 비음수 정수 간선 가중치(0-가중치 포함)를 가진 그래프에서 APSP 및 k-원천 최단경로를 위한 더 빠른 결정적 분산 알고리즘을 설계하는 것.
• 특히 0-가중치 간선를 처리하는 데 중점을 둔 기존의 랜덤화 및 결정적 APSP 알고리즘을 단순화하고 개선하는 것.
• 중간 정도의 간선 가중치 및 최단경로 거리 제약 조건 하에서 APSP의 라운드 복잡도 상한선을 향상시키는 것.
• 양의 가중치에 대해 가장 잘 알려진 라운드 복잡도를 유지하면서 0-가중치 간선도 지원하는 결정적 $$(1+\epsilon)$$-근사값 알고리즘을 제시하는 것.
• 기존의 랜덤화 APSP 알고리즘의 핵심 구성 요소, 예를 들어 단거리 및 단거리 확장 절차를 보다 효율적이고 명확하게 개선하는 것.

제안 방법

• 제한된 최단경로 거리가 있는 $$(h,k)$$-SSP에 대한 최근 파이프라인 알고리즘을 활용하여 APSP 및 k-SSP의 개선된 상한선를 유도한다.
• APSP 파이프라인의 효율성을 향상시키기 위해 개선된 결정적 차단자 집합 계산 알고리즘을 도입한다.
• 가중치 변환 전략을 적용: 0-가중치 간선를 1로 설정하고, 비0 가중치를 $$n^2$$ 배하여 양의 가중치 근사 알고리즘의 적용을 가능하게 한다.
• 랜덤화 알고리즘의 두 단계 모두에서 Bellman-Ford를 $$h$$ 라운드 동안 사용하며, 통신 오버헤드를 줄이기 위해 크기가 $$\tilde{O}(\sqrt{n})$$ 인 무작위 중심 집합을 사용한다.
• 파이프라인 최단경로 전파와 중심에서 원천으로의 거리 추정치 효율적 브로드캐스트를 결합하여 근사 거리 계산을 수행한다.
• 두 단계 접근법을 사용: 먼저 $$O(n)$$ 라운드 내에 0-가중치 경로를 통한 간선 도달 가능성 계산을 수행하고, 그 후 변환된 그래프에서 비0 가중치 경로의 근사값을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 정수 간선 가중치(0-가중치 포함)를 가진 그래프에서 $$n^{3/2}$$ 이하의 라운드 수를 달성하는 결정적 APSP 알고리즘을 얻을 수 있는가?
• RQ2 Huang 등 [8]의 랜덤화 APSP 알고리즘을 개선하여 더 낮은 라운드 복잡도와 명확성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 양의 가중치에 대해 잘 알려진 $$(1+\epsilon)$$-근사값 알고리즘을 0-가중치 간선를 포함한 그래프로 확장하면서 최적의 라운드 복잡도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 결정적 분산 APSP 계산에서 간선 가중치 크기, 최단경로 거리, 라운드 복잡도 사이의 최적의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ5 파이프라인 최단경로 알고리즘의 성능 향상을 위해 차단자 집합 계산을 어떻게 최적화할 수 있는가?

주요 결과

• 간선 가중치가 $$\lambda$$ 이하인 그래프에 대해 결정적 APSP의 복잡도 상한선를 $$O(\lambda^{1/4} \cdot n^{5/4} \log^{1/2}n)$$ 라운드로 향상시켰으며, 이는 이전의 $$\tilde{O}(n^{3/2})$$ 상한선을 초월한다.
• 최단경로 거리가 $$\Delta$$ 이하인 그래프에 대해 APSP 알고리즘이 $$O(n(\Delta \log^2 n)^{1/3})$$ 라운드 내에서 수행되며, 이는 이전의 결정적 상한선에 비해 상당한 향상이다.
• 랜덤화된 정확한 APSP 알고리즘은 w.h.p. $$\tilde{O}(n^{4/3})$$ 라운드의 복잡도를 가지며, 이는 이전의 최선의 결정적 상한선 $$\tilde{O}(n^{3/2})$$ 보다 향상된 것이다.
• 비음수 정수 가중치(0-가중치 포함)를 가진 결정적 $$(1+\epsilon)$$-근사값 APSP 알고리즘은 $$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$$ 라운드 내에서 수행되며, 양의 가중치에 대해 알려진 최고의 상한선과 일치한다.
• 논문은 Huang 등 [8]의 랜덤화 APSP 알고리즘의 핵심 절차, 특히 단거리 및 단거리 확장 구성 요소를 보다 간결한 파이프라인 SSSP 계산을 통해 단순화하였다.
• 더 나은 라운드 복잡도 상한선 달성을 위해 전체 파이프라인 APSP 프레임워크의 효율성 향상에 기여하는 개선된 차단자 집합 계산 알고리즘을 개발하였다.