[논문 리뷰] New Bayesian method for estimation of Value at Risk and Conditional Value at Risk

J. Martı́n, M. Isabel Parra외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 21.

Financial Risk and Volatility Modeling인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전체 데이터셋 정보, 특히 일반화된 포아송 분포(GPD) 관계를 통한 꼬리 행동을 반영하는 매우 정보가 풍부한 사전분포를 활용하여 Value at Risk (VaR) 및 조건부 Value at Risk (CVaR)를 추정하기 위한 새로운 베이지안 방법 IPBMH를 제안한다. 이 방법은 표준 메트로폴리스-하스팅스(MH) 및 비정보성 사전분포를 사용하는 베이지안 방법보다 정확도, 정밀도 및 안정성 측면에서 뛰어나며, 특히 소규모 표본에서 뛰어난 성능을 보인다. 이는 시뮬레이션과 IBEX35 지수의 실제 금융 데이터를 통한 검증을 통해 입증되었다.

ABSTRACT

Value at Risk (VaR) and Conditional Value at Risk (CVaR) have become the most popular measures of market risk in Financial and Insurance fields. However, the estimation of both risk measures is challenging, because it requires the knowledge of the tail of the distribution. Therefore, tools from Extreme Value Theory are usually employed, considering that the tail data follow a Generalized Pareto distribution (GPD). Using the existing relations from the parameters of the baseline distribution and the limit GPD's parameters, we define highly informative priors that incorporate all the information available for the whole set of observations. We show how to perform Metropolis-Hastings (MH) algorithm to estimate VaR and CVaR employing the highly informative priors, in the case of exponential, stable and Gamma distributions. Afterwards, we perform a thorough simulation study to compare the accuracy and precision provided by three different methods. Finally, data from a real example is analyzed to show the practical application of the methods.

연구 동기 및 목표

• 꼬리 분포 매개수를 알 수 없고 데이터가 부족한 상황에서 VaR 및 CVaR를 추정하는 데 도전하는 것.
• 극단치 이하의 값이 아닌 모든 가용 데이터를 활용하여 리스크 모델링의 정확도와 정밀도를 향상시키는 것.
• 기본 분포 매개수와 GPD 매개수 간의 알려진 관계를 활용하여 더 정보가 풍부한 추론을 가능하게 하는 베이지안 프레임워크를 개발하는 것.
• 다양한 표본 크기와 분포 조건에서 신규 방법(IPBMH)이 표준 MH 및 베이지안 방법과 비교하여 성능을 평가하는 것.
• 2020년과 2022년 기간 동안 IBEX35 지수에서 수집한 실제 금융 수익률 데이터를 활용하여 실용적 적용 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 전체 데이터셋에서 유도된 매우 정보가 풍부한 사전분포를 사용하는 새로운 베이지안 방법 IPBMH를 제안하며, 기본 분포 매개수와 GPD 매개수 간의 관계를 포함한다.
• 메트로폴리스-하스팅스(MH) 알고리즘을 사용하여 지수, 안정(카우치, 정규), 감마 분포 하에서 VaR 및 CVaR를 추정한다.
• 기본 분포와 GPD 매개수 간의 알려진 渐近적 관계를 통합하여 꼬리 관측치에 더 높은 가중치를 부여하는 정보성 사전분포를 구축한다.
• 정점 초과 방법(Peaks-over-Threshold, POT)을 적용하여 고임계값 $u$를 초과하는 초과치를 일반화된 포아송 분포(GPD)로 모델링한다.
• 실제 데이터 비교를 위한 기준으로 역사적 시뮬레이션을 사용하며, VaR 및 CVaR를 과거 수익률 $R_t = \ln(P_t / P_{t-1})$ 로부터 계산한다.
• 다양한 표본 크기와 매개수 설정에서 IPBMH, MH, BMH 방법의 정확도, 정밀도 및 편향을 비교하기 위해 시뮬레이션 연구를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VaR 및 CVaR 추정에서 제안된 IPBMH 방법이 표준 MH 및 베이지안 방법에 비해 정확도와 정밀도 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 전체 데이터셋 정보를 기반으로 한 정보성 사전분포를 사용할 경우, 특히 소규모 표본에서 추정 성능 향상 정도는 어느 정도인가?
• RQ3 시장 급변기인 코로나19 패닉 기간 동안 IPBMH 방법은 실제 금융 데이터에서 얼마나 잘 성능을 발휘하는가?
• RQ4 기본 분포(지수, 감마, 안정)가 IPBMH 방법의 성능에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ5 진짜 분포가 알려지지 않은 상황에서 IPBMH 방법이 MH보다 더 안정적이고 분산이 적은 추정치를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• IPBMH는 모든 시뮬레이션된 분포와 표본 크기에서 VaR 및 CVaR 추정치를 가장 정확하고 정밀하게 제공했으며, 특히 데이터가 부족한 경우 두드러진 성능을 보였다.
• 소규모 표본 크기에서는 IPBMH가 MH 및 BMH에 비해 훨씬 낮은 편향과 분산을 보였으며, 표본 크기가 증가함에 따라 이 우월성은 점차 감소했다.
• IBEX35 일간 로그 수익률을 활용한 실제 데이터 응용에서 IPBMH는 Figure 8에서 보듯이 MH보다 더 안정적인 추정치와 낮은 변동성을 보였다.
• Figure 8의 초록 점선은 진짜 리스크 측도를 나타내며, 이는 IPBMH(파랑) 추정치보다는 MH(빨강) 추정치보다 항상 더 가까이 위치해 있었다.
• Cauchy 및 정규 분포와 같은 안정 분포에서는 파rameter 값이나 표본 크기와 관계없이 BMH와 IPBMH가 유사한 성능을 보였으며, 이는 두꺼운 尾 꼬리 설정에서의 강건성을 시사한다.
• 이 방법은 전체 데이터 기반 정보성 사전분포에 의존함으로써, 임계값 이상의 데이터만 사용하는 MH보다 더 나은 꼬리 모델링 성능을 달성했다. 특히 기본 분포가 알려지지 않은 경우에 두드러진 이점이 있었다.