[논문 리뷰] New bounds for automorphic L-functions

Gergely Harcos|ArXiv.org|2003. 05. 21.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 37인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 해석적 판별자 C에 대한 √C 항에서 매끄럽게 잘라낸 근사 함수 방정식을 유도하여 자동형 L-함수에 대한 새로운 경계를 확립한다. 베셀 함수 추정을 통해 매개변수에 대해 다항식 균일성을 확보하고, 하디–리틀우드 원주법을 적용하여 변형된 L-함수의 초구면 경계를 증명하며, 두크, 프리드리더너, 아이와니에츠의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

This thesis contributes to the analytic theory of automorphic L-functions. We prove an approximate functional equation for the central value of the L-series attached to an irreducible cuspidal automorphic representation of GL(m) over a number field. We investigate the decay rate of the cutoff function and its derivatives in terms of the analytic conductor introduced by Iwaniec and Sarnak. We also see that the truncation can be made uniformly explicit at the cost of an error term. The results extend to products of central values. We establish, via the Hardy-Littlewood circle method, a nontrivial bound on shifted convolution sums of Fourier coefficients coming from classical holomorphic or Maass cusp forms of arbitrary level and nebentypus. These sums are analogous to the binary additive divisor sum which has been studied extensively. We achieve polynomial uniformity in all the parameters of the cusp forms by carefully estimating the Bessel functions that enter the analysis. As an application we derive, extending work of Duke, Friedlander and Iwaniec, a subconvex estimate on the critical line for L-functions associated to character twists of these cusp forms. We also study the shifted convolution sums via the Sarnak-Selberg spectral method. For holomorphic cusp forms this approach detects optimal cancellation over any totally real number field. For Maass cusp forms the method is burdened with complicated integral transforms. We succeed in inverting the simplest of these transforms whose kernel is built up of Gauss hypergeometric functions.

연구 동기 및 목표

• 수체 위의 GL_m에서의 임의의 귀납적 커피드랄 자동형 표현의 중심 L-값에 대해 날카롭고 균일한 경계를 확립하기 위해.
• 모든 수준과 네벤티푸스를 가진 정수형 및 마스 형 커피드랄 형식의 특성 변형에 대해 초구면 추정을 확장하기 위해.
• 모든 매개변수에 대해 다항식 균일성을 갖는 이동된 합성 합의 계수를 처리하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 특성형 및 마스 형식의 맥락에서, 사르나크–셀버그의 스펙트럼 방법이 이동된 합성 합에 대해 어떻게 작용하는지 조사하기 위해.
• 마스 형식의 경우에 나타나는 핵이 가우스 제타함수를 포함하는 주요 적분 변환의 역을 구하기 위해.

제안 방법

• 해석적 판별자 C에 대해 √C 항에서 매끄러운 잘림자와 그 도함수를 정밀하게 분석함으로써 L(s, π) 및 L(s, π̃)에 대한 근사 함수 방정식을 유도한다.
• 이동된 합성 합의 계수에 대해 하드리–리틀우드 원주법을 적용하여, 이는 이진 덧셈 약수 문제와 유사하게 다룬다.
• 레벨, 네벤티푸스, 스펙트럼 매개변수에 대해 다항식 균일성을 확보하기 위해 정밀한 베셀 함수 추정을 활용한다.
• L-함수의 함수 방정식과 복소 평면 상의 경로 적분을 사용하여 Re(s) = -σ/2 - ε로 이동함으로써 극을 분리하고 초함수를 유계로 둔다.
• 가우스 제타함수 F(a,b;c;z)를 포함하는 적분 변환의 역을 가장 단순한 경우에서 분석함으로써, 스틸링의 공식과 Γ-함수의 점점 증가 추정을 활용한다.
• 랑글랜드 매개변수에 대한 루오–루드니크–사르나크의 균일한 경계를 활용하여 임계대에서의 성장과 감쇠를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자동형 L-함수의 중심 L-값에 대한 근사 함수 방정식의 최적의 잘림 길이는 무엇이며, 오차는 어떻게 균일하게 유계로 유지할 수 있는가?
• RQ2 커피드랄 형식의 푸리에 계수에 대한 이동된 합성 합은 수준, 네벤티푸스, 스펙트럼 매개변수에 대해 다항식 균일성으로 유계로 간주될 수 있는가?
• RQ3 특히 임계선에서 딜리클 특성에 의해 변형된 L-함수에 대해 어떤 초구면 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ4 사르나크–셀버그 스펙트럼 방법은 전체 실수 수체 위에서 정수형 커피드랄 형식에 대해 이동된 합성 합에서 최적의 상쇄를 얼마나 잘 탐지하는가?
• RQ5 마스 형식의 경우에 나타나는 적분 변환은 핵이 가우스 제타함수를 포함할 경우 역으로 구할 수 있는가?

주요 결과

• 해석적 판별자 C에 대해 √C 항에서 잘린 근사 함수 방정식이 확립되었으며, 매끄러운 잘림자와 도함수의 감쇠를 통해 오차가 균일하게 유계로 유지된다.
• 커피드랄 형식의 푸리에 계수에 대한 이동된 합성 합은 정밀한 베셀 함수 추정을 통해 수준, 네벤티푸스, 스펙트럼 매개변수에 대해 다항식 균일성으로 유계로 간주된다.
• 디리클 특성에 의해 변형된 L-함수에 대해 초구면 경계가 증명되었으며, 이는 이전 결과를 향상시키고 두크, 프리드리너, 아이와니에츠의 작업을 확장한다.
• 정수형 커피드랄 형식의 경우, 사르나크–셀버그 스펙트럼 방법은 임의의 전체 실수 수체 위에서 최적의 상쇄를 탐지한다.
• 핵이 가우스 제타함수로 구성된 적분 변환은 가장 단순한 경우에서 성공적으로 역으로 구해졌으며, 마스 형식의 경우에 대한 명시적 분석이 가능해졌다.
• 최종적으로 초함수에 대한 경계가 O(|s|^{1/2 + ε})임을 보였으며, 이는 복소 평면에서의 경로 적분과 스틸링의 공식을 통해 필요한 초구면 추정을 암시한다.