[논문 리뷰] New bounds for the prime counting function \pi(x)

Christian Axler|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 05.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 개선된 체비셰프 함수 θ(x)의 추정치를 사용하여 소수 계수 함수 π(x)에 대한 더 날카운 상한과 하한을 확립하며, 짧은 간격 내에 소수가 존재한다는 새로운 결과를 도출한다: 모든 x ≥ 58837에 대해 구간 (x, x(1 + 1.1817/log³x)] 내에 소수가 존재한다. 이러한 경계는 두사르의 2010년 추정치를 크게 향상시키며, 상대적 너비가 O(1/log³x)인 간격 내 소수 존재의 알려진 임계값을 더욱 정밀하게 개선한다.

ABSTRACT

In this paper we establish a number of new estimates concerning the prime counting function \pi(x), which improve the estimates proved in the literature. As an application, we deduce a new result concerning the existence of prime numbers in small intervals.

연구 동기 및 목표

• 이전에 알려진 바보다 더 날카운 π(x)의 상한과 하한을 유도하는 것.
• 특히 큰 x에 대해 Dusart의 2010년 추정치를 개선하기 위해 점근 전개에서 오차 항을 정밀화함으로써 π(x)에 대한 개선된 추정치를 도출하는 것.
• 새로운 경계를 적용하여 짧은 간격 내 소수 존재의 더 날카운 임계값을 확립하는 것.
• 특히 스케스 수와 π(x)−li(x)의 부호 변화와 관련하여 소수의 분포, 특히 작은 간격 내에서의 분포를 이해하는 데 오랜 기간 동안 남아 있는 문제에 기여하는 것.

제안 방법

• θ(x)의 오차 추정치를 개선함으로써 π(x)에 대한 새로운 상한과 하한을 도출하며, 특히 x≥e³⁰일 때 |θ(x)−x| < 0.35x/log³x임을 이용한다.
• π(x) = θ(x)/logx + ∫₂ˣ θ(t)/(t log²t) dt의 적분 표현을 사용하여 π(x)와 θ(x)를 연결하고, 주로화 기법을 통해 경계를 도출한다.
• θ(x) 추정치를 사용하여 π(x)를 근사하는 함수 Jk,ηk,x₁(k)(x)를 도입하며, 주요 경계에 대해 k=3 및 η₃=0.35를 사용한다.
• 10¹⁴ 이하의 중요한 범위에서 경계를 확인하기 위해 이산 값 π(pi) 및 δ(pi)에 대한 수치적 검증을 수행한다.
• 일반 레마(레마 4.1)를 적용하여 π(x)의 경계를 (x, c(x)x) 간격 내 소수 존재 조건으로 변환하며, 여기서 c(x) = 1 + 1.1817/log³x이다.
• 점근 분석과 부등식 대체(예: log(1+t) ≤ t)를 사용하여 π(c(x)x)−π(x) > 0 이 x≥e¹⁴²³.⁷²⁸일 때 성립함을 증명하고, 더 작은 범위는 수치적으로 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dusart의 2010년 추정치를 개선하는 데 있어 알려진 최고의 π(x) 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ2 모든 x ≥ 58837에 대해 (x, x(1 + 1.1817/log³x)] 간격 내에 소수가 존재한다는 것이 엄밀하게 증명될 수 있는가?
• RQ3 θ(x)의 개선된 오차 추정치는 π(x)의 더 날카운 경계와 적어도 하나의 소수를 포함하는 더 짧은 간격으로 어떻게 번역되는가?
• RQ4 π(x) > li(x)가 되는 최소한의 x는 무엇이며, 새로운 경계는 스케스 수에 대한 알려진 상한을 어떻게 개선하는가?
• RQ5 최적화된 계수를 가진 고차항을 사용하여 π(x)의 점근 전개는 어느 정도까지 날카럽게 개선될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 π(x)에 대한 새로운 상한을 확립한다: 모든 x > 1에 대해 π(x) < x/logx + x/log²x + 2x/log³x + 6.35x/log⁴x + 24.35x/log⁵x + 121.75x/log⁶x + 730.5x/log⁷x + 6801.4x/log⁸x 이다.
• 새로운 하한이 증명된다: x ≥ 1,332,450,001일 때, π(x) > x/logx + x/log²x + 2x/log³x + 5.65x/log⁴x + 23.65x/log⁵x + 118.25x/log⁶x + 709.5x/log⁷x + 4966.5x/log⁸x 이다.
• 새로운 상한은 Dusart의 2010년 추정치(7)를 모든 x ≥ e²³.¹¹에서 개선하며, 더 날카운 점근 근사치를 제공한다.
• 논문은 모든 x ≥ 58,837에 대해 x < p ≤ x(1 + 1.1817/log³x)를 만족하는 소수 p가 존재함을 증명한다. 이는 x ≥ e¹³¹.¹⁶⁸⁷일 때 트루드지안의 2014년 결과를 초월한다.
• 증명은 θ(x) 오차 추정치를 사용한 분석적 경계와 중요 범위 내 이산 값에 대한 광범위한 수치적 검증을 결합한다.
• 결과는 x ≥ e¹⁵⁰일 때 카디리와 럼리의 2014년 경계(1 + 1/2,442,159,713)를 개선하며, 간격 너비 요소를 약 ~1/2.44×10⁹에서 ~1.1817/log³x로 감소시킨다.