[논문 리뷰] New bounds on the condition number of the Hessian of the preconditioned variational data assimilation problem

Jemima M. Tabeart, Sarah L. Dance외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Meteorological Phenomena and Simulations참고 문헌 40인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 조정된 변분 자료 융합에서 헤시안의 조건수에 대한 새로운 분석적 경계를 유도하며, 관측 오차 공분산(OEC) 행렬의 최소 고유값이 조건 수에 결정적인 영향을 미친다는 것을 보여준다. 수치 실험 결과, 배경 오차와 관측 오차의 길이 척도가 동일할 때 헤시안의 조건수가 최소가 되며, 고유값 집합이 뭉쳐질 경우 조건수만으로 예측할 수 있는 것보다 더 빠른 코그래디언 기울기 수렴 속도를 보인다.

ABSTRACT

Data assimilation algorithms combine prior and observational information, weighted by their respective uncertainties, to obtain the most likely posterior of a dynamical system. In variational data assimilation the posterior is computed by solving a nonlinear least squares problem. Many numerical weather prediction (NWP) centres use full observation error covariance (OEC) weighting matrices, which can slow convergence of the data assimilation procedure. Previous work revealed the importance of the minimum eigenvalue of the OEC matrix for conditioning and convergence of the unpreconditioned data assimilation problem. In this paper we examine the use of correlated OEC matrices in the preconditioned data assimilation problem for the first time. We consider the case where there are more state variables than observations, which is typical for applications with sparse measurements e.g. NWP and remote sensing. We find that similarly to the unpreconditioned problem, the minimum eigenvalue of the OEC matrix appears in new bounds on the condition number of the Hessian of the preconditioned objective function. Numerical experiments reveal that the condition number of the Hessian is minimised when the background and observation lengthscales are equal. This contrasts with the unpreconditioned case, where decreasing the observation error lengthscale always improves conditioning. Conjugate gradient experiments show that in this framework the condition number of the Hessian is a good proxy for convergence. Eigenvalue clustering explains cases where convergence is faster than expected.

연구 동기 및 목표

• 상관 관측 오차 공분산(OEC) 행렬을 가진 조정된 변분 자료 융합에서 헤시안의 조건 수를 분석하기 위해.
• OEC 행렬의 최소 고유값에 의존하는 헤시안 조건수에 대한 새로운 이론적 경계를 도출하기 위해.
• 배경 오차와 관측 오차 공분산 구조가 조정된 4D-Var 시스템에서 수렴에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 헤시안 조건수가 이 틀에서 코그래디언 기울기 수렴에 신뢰할 수 있는 대체 지표가 되는지 평가하기 위해.
• 헤시안의 고유값 집합이 조정된 자료 융합 문제에서 수렴 속도에 미치는 영향을 탐구하기 위해.

제안 방법

• 배경 오차 공분산 및 관측 오차 공분산 행렬의 성질을 사용하여 선형화된 조정된 목적 함수의 헤시안 조건수에 대한 분석적 경계를 유도한다.
• 행렬 섭동 이론과 스펙트럼 분석을 적용하여 헤시안의 조건수를 OEC 행렬의 최소 고유값과 연결한다.
• 제어 변수 변환(CVT)을 사용한 4D-Var 프레임워크를 활용하여 배경 오차 공분산 행렬을 암묵적으로 모델링한다.
• 수치 실험을 통해 순환 구조를 가진 배경 및 OEC 행렬을 사용하여 이론적 경계와 수렴 행동을 테스트한다.
• 코그래디언 기울기 방법을 구현하여 수렴 속도를 평가하고, 헤시안의 조건수 및 고유값 분포와 연관시킨다.
• 배경 오차 및 관측 오차의 다양한 길이 척도를 비교하여 최적의 구성 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측 오차 공분산 행렬의 최소 고유값은 조정된 변분 자료 융합 문제에서 헤시안의 조건수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 수치 실험에서 관찰된 것처럼, 배경 오차와 관측 오차의 길이 척도를 일치시키면 조정된 설정에서 헤시안의 조건수가 최소가 되는가?
• RQ3 헤시안 조건수가 조정된 자료 융합에서 코그래디언 기울기 수렴을 얼마나 잘 예측할 수 있는가?
• RQ4 헤시안의 고유값 집합은 조건수만으로 예측할 수 있는 것보다 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 OEC 행렬의 재조정 기법은 조정된 설정에서 헤시안 조건수에 어떤 영향을 미치며, 비조정된 경우와 비교해 볼 때 어떻게 다를까?

주요 결과

• 관측 오차 공분산 행렬의 최소 고유값은 조정된 변분 자료 융합 문제에서 헤시안 조건수에 대한 새로운 분석적 경계에 나타난다.
• 배경 오차와 관측 오차의 길이 척도가 동일할 때 헤시안의 조건수가 최소가 되며, 이는 비조정된 경우와는 반대로 관측 오차 길이 척도를 줄일수록 항상 조건 수가 개선되는 것과는 다릅니다.
• 코그래디언 기울기 수렴은 헤시안 조건수에 의해 잘 예측되지만, 고유값이 뭉쳐져 있을 경우 조건수가 최적일 때보다 더 빠른 수렴이 발생한다.
• 관측 연산자의 구조적 특성과 보완적인 공분산 행렬 구조에 의해 유도된 고유값 집합은 예상보다 더 빠른 수렴을 이끌 수 있다.
• OEC 행렬의 작은 고유값을 증가시키는 재조정 기법은 배경 오차 공분산과의 곱셈 결합으로 인해 조정된 설정에서는 헤시안 조건수를 감소시키지 않을 수 있다.
• 이론적 경계는 배경 오차 및 관측 오차 공분산 행렬과 선형 관측 연산자에 관계없이 일반적으로 적용 가능하며, 수치 결과는 균일하고 등간격으로 배치된 상태 변수를 가진 순환 구조 행렬 기반이다.