[논문 리뷰] New characterizations for core inverses in rings with involution

Sanzhang Xu, Jianlong Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 26.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 호환성 구조를 갖춘 링에서 핵심 역행렬의 새로운 세 방정식 특성화를 제공하며, 원소 $ a $가 역행렬 $ b $를 갖는다 하면 $ (ab)^* = ab $, $ ba^2 = a $, $ ab^2 = b $임을 보여준다. 또한 군 역행렬을 갖는 원소가 핵심 역행렬을 갖는다 하는 것과 그 원소가 동시에 {1,3}-역행렬임이 동치임을 증명하고, 특정 직교 조건 하에서 두 핵심 역행렬 원소의 합에 대한 명시적 공식을 유도한다.

ABSTRACT

The core inverse for a complex matrix was introduced by Baksalary and Trenkler. Rakić, Dinčić and Djordjević generalized the core inverse of a complex matrix to the case of an element in a ring. They also proved that the core inverse of an element in a ring can be characterized by five equations and every core invertible element is group invertible. It is natural to ask when a group invertible element is core invertible, in this paper, we will answer this question. We will use three equations to characterize the core inverse of an element. That is, let $a, b\in R$, then $a\in R^{ iny extcircled{ iny\#}}$ with $a^{ iny extcircled{ iny\#}}=b$ if and only if $(ab)^{\ast}=ab$, $ba^{2}=a$ and $ab^{2}=b$. Finally, we investigate the additive property of two core invertible elements. Moreover, the formulae of the sum of two core invertible elements are presented.

연구 동기 및 목표

• *-링에서 군 역행렬을 갖는 원소가 언제 핵심 역행렬을 갖는가를 규명하는 것.
• 기존 연구에서 다섯 방정식 체계를 사용한 것에 비해 최소한의 세 방정식 특성화를 제공하는 것.
• 핵심 역행렬 원소의 덧셈 성질을 조사하고, 그 합의 핵심 역행렬에 대한 명시적 공식을 유도하는 것.
• 복소 행렬에서 알려진 핵심 역행렬 결과를 일반적인 호환성 구조를 갖춘 링으로 확장하는 것.
• 핵심 역행렬 가능성, 군 역행렬 가능성, {1,3}-역행렬 가능성 간의 관계를 *-링 내에서 명확히 하는 것.

제안 방법

• 핵심 역행렬을 정의하기 위해 세 방정식 특성화를 제안: $ (ab)^* = ab $, $ ba^2 = a $, $ ab^2 = b $.
• 핵심 역행렬 가능성과 군 역행렬 가능성 및 {1,3}-역행렬 가능성의 교차 조건 간의 동치성을 이용해 필요 및 충분 조건을 도출.
• 호환성 성질, 비율원소, 소멸자 조건 등을 포함한 링 이론적 도구를 사용하여 핵심 역행렬 원소의 구조를 분석.
• 조건 $ ab = 0 $, $ a^*b = 0 $, $ a,b $가 핵심 역행렬일 때 공식 $ (a+b)^\tiny{\tiny\text{\textsterling}}=b^{\text{\textpi}}a^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}+b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $을 도출.
• 군 역행렬과 관련된 스펙트럴 비율원소 $ b^{\text{\textpi}} = 1 - b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}b $의 개념을 활용하여 합의 핵심 역행렬을 표현.
• 직교 조건이 합 공식에서 필수적임을 보여주는 반례를 통해 결과의 타당성을 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 *-링에서 군 역행렬을 갖는 원소가 언제 핵심 역행렬을 갖는가?
• RQ2 핵심 역행렬을 다섯 방정식이 아닌 세 방정식만으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 두 핵심 역행렬 원소의 합이 핵심 역행렬이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 두 핵심 역행렬 원소가 $ ab = 0 $ 및 $ a^*b = 0 $ 조건을 만족할 때 합의 핵심 역행렬에 대한 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ5 덧셈 조건 하에서 핵심 역행렬과 이중 핵심 역행렬은 어떻게 행동하며, 이에 해당하는 합 공식은 무엇인가?

주요 결과

• 원소 $ a $가 역행렬 $ b $를 갖는다 하면 $ (ab)^* = ab $, $ ba^2 = a $, $ ab^2 = b $임을 보여주며, 최소한의 세 방정식 특성화를 제공한다.
• 군 역행렬을 갖는 원소 $ a $가 핵심 역행렬을 갖는다 하는 것과 그 원소가 동시에 {1,3}-역행렬임이 동치이며, 즉 $ a \notin R^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $이면 $ a \notin R^{\text{\#}} \bigcap R^{\text{\{1,3\}}} $임이 동치이다.
• 만약 $ a $와 $ b $가 핵심 역행렬이면서 $ ab = 0 $ 및 $ a^*b = 0 $ 조건을 만족하면, $ a + b $는 핵심 역행렬을 갖으며 $ (a+b)^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} = b^{\text{\textpi}}a^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} + b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $이다. 여기서 $ b^{\text{\textpi}} = 1 - b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}b $이다.
• 합 공식에서 조건 $ ab = 0 $는 필수적임을 반례를 통해 입증하였으며, $ ab \neq 0 $이면 $ a + b $의 핵심 역행렬 가능성에 실패함을 보였다.
• 조건 $ ab = 0 $ 및 $ ab^* = 0 $ 하에서 합 $ a + b $의 이중 핵심 역행렬은 $ (a+b)_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} = a_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} + b_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}a^{\text{\textpi}} $를 만족하며, 여기서 $ a^{\text{\textpi}} = 1 - aa_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $이다.
• 이 결과들은 기존의 복소 행렬 이론에서의 핵심 역행렬 결과를 일반적인 호환성 구조를 갖춘 링으로 일반화하여 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.