[논문 리뷰] New congruences for central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun, Roberto Tauraso|arXiv (Cornell University)|2008. 05. 05.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 중심 이항계수 $\binom{2k}{k+d}$에 대한 새로운 합동식을 소수의 거듭제곱 모듈로에서 유도하며, 선형 재귀수열 $u_n(x)$와 $v_n(x)$를 사용하고, 자코비 기호, 페르마 몫, 피보나치 및 루카스 수와 같은 특수 수열과 연결한다. 주요 기여는 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$ 형태의 일반화된 합동식을 제시하는 것으로, 월스텐홀름 유형 결과를 더 높은 소수 거듭제곱과 분수 계수로 확장한다.

ABSTRACT

Let p be a prime and let a be a positive integer. In this paper we determine $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$ and $\sum_{k=1}^{p-1}\binom{2k}{k+d}/(km^{k-1})$ modulo $p$ for all d=0,...,p^a, where m is any integer not divisible by p. For example, we show that if $p ot=2,5$ then $$\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}k=-5\frac{F_{p-(\frac p5)}}p (mod p),$$ where F_n is the n-th Fibonacci number and (-) is the Jacobi symbol. We also prove that if p>3 then $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}k={8/9} p^2B_{p-3} (mod p^3),$$ where B_n denotes the n-th Bernoulli number.

연구 동기 및 목표

• 소수 $p$에 대해 $a \geq 1$일 때, $\binom{2p}{p} \equiv 1 \pmod{p^3}$인 월스텐홀름의 고전적 합동식을 $p^a$ 모듈로에서 가중치가 부여된 중심 이항계수의 합으로 확장한다.
• 선형 재귀수열 $u_n(x)$와 $v_n(x)$를 사용하여 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \pmod{p}$에 대한 명시적 합동식을 유도한다.
• 이러한 합을 자코비 기호, 페르마 몫 $q_p(m)$, 피보나치, 루카스, 펠 수와 같은 특수 수열과 같은 산술 함수와 연결한다.
• 다양한 모듈로 조건과 분수 계수 $m^{-k}$를 포함하는 $\binom{2k}{k+d}$에 대한 합동식을 통합하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 저자들은 두 개의 선형 재귀수열을 정의한다: $u_n(x)$는 $u_0=0$, $u_1=1$, $u_{n+1} = x u_n - u_{n-1}$을 만족하고, $v_n(x)$는 $v_0=2$, $v_1=x$, $v_{n+1} = x v_n - v_{n-1}$을 만족하며, 이는 피보나치와 루카스 수열을 일반화한다.
• 생성함수와 소수의 거듭제곱 모듈로에서의 이항계수 성질을 사용하여, $m \not\equiv 0 \pmod{p}$인 경우에 대해 가중치가 부여된 합 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \pmod{p}$의 합동식을 유도한다.
• 핵심 항등식은 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$로서, 합이 $m-2$에서 평가된 재귀수열과 연결됨을 보여준다.
• 특히 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv \frac{2}{3}p B_{p-3} \pmod{p^2}$와 같은 조화합과 베르누이 수에 관한 기존 결과를 응용하여 고차항을 평가한다.
• 논문은 $\binom{2p^a - 1}{p^a - 1} \equiv 1 + p[p=2] + p^2[p=3] \pmod{p^3}$라는 항등식을 사용하여 합을 조화수와 베르누이 수를 포함하는 형태로 환원한다.
• 페르마 몫 $q_p(m) = \frac{m^{p-1} - 1}{p}$를 활용하고, $\frac{1}{k m^{k-1}}$을 포함하는 합을 $q_p(m)$와 루카스 수열 $V_n(x)$와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $p$에 대해 $a \geq 1$일 때, $\binom{2p}{p}$에 대한 월스텐홀름 유형 합동식을 $m^{-k}$로 가중치가 부여된 $\binom{2k}{k+d}$의 합으로 $p^a$ 모듈로로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d}$ 합과 재귀수열 $u_n(x)$, $v_n(x)$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 자코비 기호와 레이지드 레이저 기호는 이러한 가중치가 부여된 합의 합동식에서 어떻게 자연스럽게 나타나는가?
• RQ4 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k m^{k-1}} \binom{2k}{k}$의 합은 페르마 몫 $q_p(m)$로 표현할 수 있는가?
• RQ5 베르누이 수와 조화합은 합동식을 더 높은 모듈로로 올리는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 소수 $p$, $a \geq 1$, $m \not\equiv 0 \pmod{p}$에 대해 합 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$가 성립하며, $u_n(x)$는 재귀식 $u_{n+1} = x u_n - u_{n-1}$으로 정의된다.
• 다음과 같이 $d > 0$일 때, $d \sum_{k=1}^{p^a-1} \frac{1}{k m^{k-1}} \binom{2k}{k+d} \equiv 2(-1)^d + v_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$가 성립하며, 여기서 $v_n(x)$는 동반 재귀수열이다.
• 모든 $m=1$일 때, 합 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} \equiv \left(\frac{p^a - d}{3}\right) \pmod{p}$이며, 이는 자코비 기호와 연결된다.
• 모든 $m=2$일 때, 합 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{2^k} \binom{2k}{k+d} \equiv 0 \pmod{p}$이 되며, 이는 $p^a \equiv d \pmod{2}$일 때이고, 그렇지 않으면 $\pm 1$이 되며, 이는 4를 모듈로로 한 잔여류에 따라 달라진다.
• 합 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k 2^{k-1}} \binom{2k}{k} \equiv 2q_p(2) \pmod{p}$이며, 이는 직접적으로 페르마 몫 $q_p(2)$와 연결됨을 보여준다.
• 모든 $p > 3$일 때, 합 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1 + 2p H_k}{k^2} \equiv \frac{8}{3} p B_{p-3} \pmod{p^2}$이며, 이는 합동식을 더 높은 모듈로로 올리는 데 필수적이다.