[논문 리뷰] New constructions of quaternary bent functions

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 4인 갈로아 링에서 이차형식을 사용하여 새로운 4진 벤트 함수를 구성한다. 이는 리, 당, 헬레세스의 이전 연구를 일반화한 것이다. 다항식의 최대공약수 조건을 통해 특정 계수 집합(QBF-집합)을 특성화함으로써, 저자들은 새로운 4진 벤트 함수의 계열을 도출하고, 이중 벤트 및 준벤트 함수와의 연결을 통해 다항식 형태로 새로운 2진 벤트 및 준벤트 함수의 계열을 확보한다.

ABSTRACT

In this paper, a new construction of quaternary bent functions from quaternary quadratic forms over Galois rings of characteristic 4 is proposed. Based on this construction, several new classes of quaternary bent functions are obtained, and as a consequence, several new classes of quadratic binary bent and semi-bent functions in polynomial forms are derived. This work generalizes the recent work of N. Li, X. Tang and T. Helleseth.

연구 동기 및 목표

• 특성 4인 갈로아 링 위에서 트레이스 형식을 기반으로 한 최근의 4진 벤트 함수 구성 방법을 일반화하기 위해.
• 트레이스 형식을 통해 정의된 4진 함수 계열이 벤트가 되기 위한 충분조건을 다항식 최대공약수 조건을 통해 규명하기 위해.
• 구성된 4진 벤트 함수로부터 다항식 형태로 새로운 2진 이차 벤트 및 준벤트 함수 계열을 도출하기 위해.
• 갈로아 링의 구조적 성질과 테이히뮐러 집합을 활용하여 알려진 벤트 및 준벤트 함수의 가족을 확장하기 위해.

제안 방법

• 갈로아 링 GR(4,n) 위에서 트레이스 형식으로 4진 벤트 함수를 정의한다. 특히, x가 테이히뮐러 집합에 속할 때 Q(x) = Tr₁ⁿ(αx + 2∑cᵢβx^{1+2^{eki}})로 표현한다.
• 테이히뮐러 집합과 𝔽₂ⁿ 사이의 동형사상으로 트레이스 함수의 2진 전개를 통해 4진 함수를 2진 함수와 연결한다.
• 벤트성의 필요 및 충분 조건을 수립한다: gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1, 여기서 c(x)는 계수 {cᵢ}로부터 유도된 이진 다항식이다.
• 대수적 수론과 원분 다항식의 성질을 활용하여 QBF-집합(최대공약수 조건을 만족하는 계수 집합)을 특성화한다.
• 스탄카 등이 제시한 4진 벤트 함수와 2진 벤트/준벤트 함수 간의 연결을 응용하여 다항식 형태의 2진 함수를 도출한다.
• 결과로 얻어진 2진 함수가 n의 기수에 따라 이차적이고, n이 짝수이면 벤트 함수, 홀수이면 준벤트 함수임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 {cᵢ}에 어떤 조건이 성립할 경우, 4진 함수 Q(x) = Tr₁ⁿ(αx + 2∑cᵢβx^{1+2^{eki}})가 GR(4,n) 위에서 벤트가 되는가?
• RQ2 특정 계수 집합에 대해 다항식 최대공약수 조건 gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1을 어떻게 대수적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 구성된 4진 벤트 함수로부터 도출할 수 있는 새로운 2진 이차 벤트 및 준벤트 함수 계열(다항식 형태)은 무엇인가?
• RQ4 이 구성 방법은 리, 당, 헬레세스의 최근 4진 벤트 함수 연구를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 갈로아 링과 테이히뮐러 집합의 구조적 성질은 새로운 벤트 함수의 구성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 4진 벤트 함수에 대한 새로운 충분조건을 수립한다: gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1, 여기서 c(x)는 계수 {cᵢ}로부터 유도된 이진 다항식이다.
• 최대공약수 조건을 만족하는 QBF-집합을 식별함으로써, 여러 개의 새로운 4진 벤트 함수 계열이 명시적으로 구성되었으며, 이는 이전의 구성 방법을 일반화한다.
• n이 짝수일 경우, 유도된 2진 함수 f_Q(x)는 다항식 형태의 이차 벤트 함수이다. n이 홀수일 경우, 이는 이차 준벤트 함수이다.
• 결과로 얻어진 2진 함수는 f_Q(x) = p(αx) + ∑cᵢ tr₁ⁿ(βx^{1+2^{eki}}) 형태이며, p(x)는 특정 지수에 대한 트레이스 합으로 정의된다.
• 이 구성은 이전의 유한체 위에서의 이차형식 기반 방법으로는 커버되지 않은 새로운 이차 벤트 및 준벤트 함수의 가족을 도출한다.
• 이 방법은 최대공약수 조건을 만족하는 계수 집합을 선택하는 방식으로 새로운 벤트 및 준벤트 함수를 체계적으로 생성할 수 있으며, 특히 정리 1–10에서 유도된 구체적 예시들이 포함되어 있다.