[논문 리뷰] New Constructions of Sonar Sequences

Diego Ruíz, Carlos A. Trujillo외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 07.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 보즈와 루즈사의 구성에서 유도된 일차원 시돈 집합을 사용하여 모듈로 수압파형 시퀀스의 새로운 구성법을 제시한다. 이 시돈 집합의 원소들을 floor division를 통해 주파수 색인으로 매핑함으로써, 보장된 낮은 모호성과 함께 $m \times n$ 모듈로 수압파형 시퀀스를 생성한다. 이는 기존의 코스타스 배열 기반 방법과 독립적인 대안을 제공하며, 소수 및 소수 거듭제곱 모듈로에 대한 기존 구성법을 확장한다.

ABSTRACT

A set A is a Sidon set in an additive group G if every element of G can be written at most one way as sum of two elements of A. A particular case of two-dimensional Sidon sets are the sonar sequences, which are two-dimensional synchronization patterns. The main known constructions of sonar sequences are reminiscent of Costas arrays constructions (Welch and Golomb). Other constructions are Quadratic and Shift. In this work we present new constructions of sonar sequences, independent of the named above, using one-dimensional Sidon sets.

연구 동기 및 목표

• 기본 웰치, 골롬브, 코스타스 기반 방법 외의 새로운 독립적 수압파형 시퀀스 구성법을 개발하기 위해.
• 특히 보즈와 루즈사 구성법에서 유도된 일차원 시돈 집합을 활용하여 이차원 수압파형 시퀀스를 생성하기 위해.
• 이러한 새로운 구성법이 최소한의 모호성으로 유효한 모듈로 수압파형 시퀀스를 생성할 수 있는 조건을 설정하기 위해.
• 특히 소수 및 소수 거듭제곱 모듈로에 대해 가능한 $m \times n$ 수압파형 시퀀스 차원의 범위를 확장하기 위해.
• 주어진 $m$에 대해 수압파형 시퀀스의 최대 길이 $G(m)$에 대한 열린 문제를 다루기 위해.

제안 방법

• 소수 거듭제곱 $q = p^r$ 에 대해 $\mathbb{Z}_{(q+1)(q-1)}$ 내에서 보즈의 시돈 집합 구성법을 활용하여, 짝수 합이 모두 다른 $q$개 원소의 집합을 도출한다.
• 홀수 소수 $p$ 에 대해 $\mathbb{Z}_{p(p-1)}$ 내에서 루즈사의 시돈 집합 구성법을 적용하여, 유일한 합 성질을 가진 $p-1$개 원소의 집합을 생성한다.
• 모듈로 $k = q+1$ 또는 $k = p$ 인 $k$에 대해, $b_i \equiv i \pmod{k}$ 를 만족하는 시돈 집합의 유일한 원소 $b_i$ 를 고려하고, $f(i) = \left\lfloor \frac{b_i}{k} \right\rfloor$ 라는 매핑을 정의한다.
• 이로 유도된 시퀀스가 모듈로 수압파형 조건을 만족함을 증명한다: $f_{i+h} - f_i \equiv f_{j+h} - f_j \pmod{m} \Rightarrow i = j$.
• 신호 탐지에서의 낮은 모호성을 보장하기 위해 주파수 도메인에서 차이의 고유성을 유지함을 검증한다.
• 정리 10에서 따온 추론 1과 2를 통해 $(q-1) \times q$ 및 $(p-1) \times (p-1)$, $p \times (p-1)$ 모듈로 수압파형 시퀀스에 대한 명시적 구성법을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 시돈 집합에서 유도된 새로운 비코스타스 기반 수압파형 시퀀스를 유도할 수 있는가?
• RQ2 보즈와 루즈사의 시돈 집합 구성법에서 어떤 성질이 유효한 모듈로 수압파형 시퀀스를 유도하는가?
• RQ3 이 방법을 사용하여 어떤 모듈로 $m$ 에 대해 새로운 $m \times n$ 모듈로 수압파형 시퀀스를 구성할 수 있는가?
• RQ4 모든 양의 정수 $m$ 에 대해 $G(m) \geq m$ 이라는 것을 증명하거나 반증할 수 있는가?
• RQ5 이 접근법을 비모듈로 $m \times n$ 수압파형 시퀀스의 구성으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 정리 10은 원소들을 모듈로 $k$ 에 대해 floor division하는 방식으로 일차원 시돈 집합에서 $m \times n$ 모듈로 수압파형 시퀀스를 구성하는 일반적인 방법을 확립한다.
• 추론 1은 $\mathbb{Z}_{(q+1)(q-1)}$ 내에서 크기가 $q$ 인 보즈의 시돈 집합을 사용하여 $(q-1) \times q$ 모듈로 수압파형 시퀀스를 생성한다.
• 추론 2는 $\mathbb{Z}_{p(p-1)}$ 내에서 크기가 $p-1$ 인 루즈사의 시돈 집합을 사용하여 $(p-1) \times (p-1)$ 모듈로 수압파형 시퀀스를 도출한다.
• 추론 2는 모듈로를 $p-1$ 으로 조정함으로써 $p \times (p-1)$ 모듈로 수압파형 시퀀스도 생성한다.
• 예제 1은 보즈의 구성법을 사용하여 $q=9$ 에서 유도된 구체적인 $8 \times 9$ 모듈로 수압파형 시퀀스 $[0,6,5,0,5,7,3,3,4]$ 를 보여준다.
• 예제 2는 $p=7$ 에 대해 $6 \times 6$ 시퀀스 $[5,0,4,0,0,3]$ 과 $p=13$ 에 대해 $13 \times 12$ 시퀀스 $[12,12,11,8,1,12,7,9,12,4,0,4]$ 를 보여주며, 모두 루즈사의 구성법을 활용한다.