[논문 리뷰] New Convex Programs for Fisher's Market Model and its Generalizations

Nikhil R. Devanur, Kamal Jain외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 03.

Economic theories and models참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 파이셔 시장 모델을 위한 두 가지 새로운 볼록 프로그램을 제안한다: 판매자가 수익 한도를 설정하는 경우(M₁)와 구매자가 효용 한도를 설정하는 경우(M₂)로, 모두 고전적인 아이젠버그-게일과 쇤무이브의 볼록 프로그램을 확장한 것이다. 주요 기여는 이러한 모델이 유리한 균형을 가지며, 타원체 방법을 통해 다항 시간 내에 해를 구할 수 있음을 증명한 것이다. 또한, 변수 변환 하에 이중 프로그램이 동일하다는 것이 입증되었다.

ABSTRACT

We present the following results pertaining to Fisher's market model: -We give two natural generalizations of Fisher's market model: In model M_1, sellers can declare an upper bound on the money they wish to earn (and take back their unsold good), and in model M_2, buyers can declare an upper bound on the amount to utility they wish to derive (and take back the unused part of their money). -We derive convex programs for the linear case of these two models by generalizing a convex program due to Shmyrev and the Eisenberg-Gale program, respectively. -We generalize the Arrow-Hurwicz theorem to the linear case of these two models, hence deriving alternate convex programs. -For the special class of convex programs having convex objective functions and linear constraints, we derive a simple set of rules for constructing the dual program (as simple as obtaining the dual of an LP). Using these rules we show a formal relationship between the two seemingly different convex programs for linear Fisher markets, due to Eisenberg-Gale and Shmyrev; the duals of these are the same, upto a change of variables.

연구 동기 및 목표

• 판매자가 수익 한도를 설정할 수 있고, 구매자가 효용 한도를 설정할 수 있는 자연스러운 제약 조건을 도입하여 고전적인 파이셔 시장 모델을 확장한다.
• 이러한 일반화된 모델에서 균형 배분을 기술하는 볼록 프로그램을 개발한다. 특히 선형 효용 함수를 대상으로 한다.
• 이러한 모델에서 균형이 존재하고, 그 균형이 유리한 균형임을 증명하여, 타원체 방법을 통해 다항 시간 내에 계산이 가능하게 한다.
• 선형 효용 하에서 아이젠버그-게일과 쇤무이브의 볼록 프로그램 간의 공식적인 이중성 관계를 수립한다.
• 아워-허리치츠 정리를 새로운 모델로 확장하고, 선형 효용 함수에 대해 M₁ 및 M₂에 대한 대체 볼록 프로그램을 유도한다.

제안 방법

• 구매자가 효용 한도를 설정하는 모델 M₂를 기술하기 위해, 효용 제약이 있는 배분의 새로운 공식화를 사용하여 아이젠버그-게일 볼록 프로그램을 일반화한다.
• 판매자가 수익 한도를 설정하는 모델 M₁을 기술하기 위해 쇤무이브의 볼록 프로그램(CP)을 일반화하며, 할당량이 아닌 가격과 지출을 나타내는 변수를 재정의한다.
• 선형 제약 조건과 볼록 목적 함수를 갖는 볼록 프로그램에 적용 가능한 간단한 새로운 이중성 규칙을 사용하여 M₁ 및 M₂에 대한 이중 볼록 프로그램을 유도한다.
• 변수 변환 하에 아이젠버그-게일 프로그램과 쇤무이브 프로그램의 이중 프로그램이 동일하다는 것을 보여주며, 서로 다른 것처럼 보이는 두 공식화 간의 깊은 구조적 연결을 드러낸다.
• 아워-허리치츠 정리의 확장을 적용하여 타원체 방법을 통해 볼록 프로그램을 해결하기 위해 다항 시간 내에 실행 가능한 분리 오рак루를 구축한다.
• 모델 M₁ 및 M₂에서 효용 및 예산 파rameter로부터 유도된 가격 범위를 사용하여 초기 타원체의 경계 상자를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 판매자가 수익 한도를 부과하고, 구매자가 효용 한도를 설정할 경우 파이셔 시장에서 균형이 존재하는가?
• RQ2 이러한 일반화된 모델에서 균형 배분을 기술하는 볼록 프로그램을 구성할 수 있는가?
• RQ3 입력 파rameter가 유리수일 경우, 이러한 모델에서 균형이 존재하고 유리한 균형을 이룬다. 이는 다항 시간 내에 계산이 가능하게 하는가?
• RQ4 선형 효용과 제약 조건 하에서 아이젠버그-게일 프로그램과 쇤무이브 프로그램 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 아워-허리치츠 정리는 선형 효용 하에서 M₁ 및 M₂에 대해 대체 볼록 프로그램을 도출하기 위해 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 효용 하에서 판매자 수익 한도가 있는 모델 M₁과 구매자 효용 한도가 있는 모델 M₂는 모두 균형을 갖는다.
• M₁ 및 M₂에 대한 볼록 프로그램은 각각 아이젠버그-게일 및 쇤무이브 프로그램을 일반화하여 구성되었으며, 이중성 관계가 공식적으로 확립되었다.
• 변수 변환 하에 아이젠버그-게일 프로그램과 쇤무이브 프로그램의 이중 프로그램이 동일하다는 것이 입증되었으며, 이는 깊은 구조적 연결을 드러낸다.
• 입력 파rameter가 유리수일 경우, 두 모델 모두 유리한 균형이 존재하여 타원체 방법을 통해 다항 시간 내에 해를 구할 수 있다.
• 일반화된 아워-허리치츠 정리를 적용하여 타원체 방법을 위한 분리 오라클을 다항 시간 내에 구현하였으며, 이는 효율적인 균형 계산을 가능하게 한다.
• M₂에 대해서는 선형 효용 이외에도 레온티에프 및 CES 효용(0 < ρ < 1)에 대해서도 볼록 프로그램이 제공되며, 이는 선형 효용을 초월한 확장성을 보여준다.