[논문 리뷰] New derived autoequivalences of Hilbert schemes and generalised Kummer varieties

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 사영적인 표면 $X$의 유도 범주에 대해 대각 포함과 자명한 $\mathfrak{S}_n$-선형화를 통해 구성된 새로운 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수를 소개한다. 이 함수는 Hilbert 스킴 $X^{[n]}$에 대해 유도 자등형을 유도하며, 아벨 표면의 경우 일반화된 쿠머 다양체에서 $n^4$개의 서로 수직인 $\mathbb{P}^{n-1}$-객체로 제한되며, 이는 쿠머 표면의 16개의 구형 객체를 일반화한다.

ABSTRACT

We show that for every smooth projective surface X and every $n\ge 2$ the push-forward along the diagonal embedding gives a $P^{n-1}$-functor into the $S_n$-equivariant derived category of X^n. Using the Bridgeland--King--Reid--Haiman equivalence this yields a new autoequivalence of the derived category of the Hilbert scheme of n points on X. In the case that the canonical bundle of X is trivial and n=2 this autoequivalence coincides with the known EZ-spherical twist induced by the boundary of the Hilbert scheme. We also generalise the 16 spherical objects on the Kummer surface given by the exceptional curves to n^4 orthogonal $P^{n-1}$-Objects on the generalised Kummer variety.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 사영적인 표면 $X$와 $n \geq 2$에 대해 Hilbert 스킴 $X^{[n]}$에 대한 새로운 유도 자등형을 구성하기.
• 경계에 의해 유도되는 알려진 자등형을 $X^{[2]}$에서 임의의 $n \geq 2$와 비자명한 캐논리컬 번들의 가진 표면로 일반화하기.
• 아벨 표면 $A$에 대해 일반화된 쿠머 다양체 $K_{n-1}A$에서 $n^4$개의 서로 수직인 $\mathbb{P}^{n-1}$-객체로 쿠머 표면의 16개의 구형 객체를 일반화하기.

제안 방법

• 자명한 $\mathfrak{S}_n$-선형화와 대각 포함 $\delta_*: \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$에 沿해 $F: \operatorname{D}^b(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$를 정의한다.
• 필요한 수반 조건과 코homological 조건을 검증하여 $F$가 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수임을 증명한다. 특히 자동등형 $H$에 대해 $RF \simeq \operatorname{id} \oplus H \oplus \cdots \oplus H^n$임을 확인한다.
• Bridgeland–King–Reid–Haiman 동치를 사용하여 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수를 Hilbert 스킴 $X^{[n]}$의 유도 범주로 이전하여 새로운 자등형을 얻는다.
• 아벨 표면 $A$에 대해 일반화된 쿠머 다양체 $K_{n-1}A \subset A^{[n]}$에 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수를 제한하여, 이 함수가 $n^4$개의 서로 수직인 $\mathbb{P}^{n-1}$-객체로 분해됨을 보인다.
• 이 객체들을 $A$의 $n$- torsion 점에서의 천정층으로 식별하며, 정규 범주의 $\mathfrak{S}_n$-불변 코homology와 교차의 수직성 조건을 사용한다.
• 기존의 자등형들(예: $\operatorname{Aut}(\operatorname{D}^b(X))$에서 유도된 것 또는 Addington의 함수에서 유도된 것)과 비교하여, 이 자등형이 Fano 표면일 때조차도 표준적이지 않음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 매끄럽고 사영적인 표면 $X$와 $n \geq 2$에 대해, 자명한 $\mathfrak{S}_n$-선형화에 따른 대각 포함이 $X^n$에서 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수를 유도하는가?
• RQ2 일반화된 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수에 의해 유도되는 자등형이 $n=2$일 때, $K_X \cong \mathcal{O}_X$인 경우 $X^{[2]}$에서 알려진 경계에 의해 유도되는 자등형과 일치하는가?
• RQ3 쿠머 표면 $K_1A$의 16개의 구형 객체는 $n \geq 2$에 대해 일반화된 쿠머 다양체 $K_{n-1}A$에서 $n^4$개의 서로 수직인 $\mathbb{P}^{n-1}$-객체로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 이 새로운 자등형은 Ploog의 구성이나 Addington의 함수에서 유도된 것들과 같은 $A^{[n]}$의 자등형들과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 X가 Fano 표면일지라도, $K_{n-1}A$에 유도되는 자등형이 표준 자등형들과 독립적인가?

주요 결과

• 모든 매끄럽고 사영적인 표면 $X$와 $n \geq 2$에 대해, 자명한 $\mathfrak{S}_n$-선형화와 대각 포함에 의해 정의된 함자 $F: \operatorname{D}^b(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$는 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수이다.
• 일반화된 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수에 의해 유도되는 자등형이 $n=2$이고 $X$의 캐논리컬 번들이 자명할 경우, $X^{[2]}$에서 경계 $X^{[2]}_{\Delta}$에 의해 유도되는 알려진 자등형과 일치한다. 이는 $\mathcal{O}_{\mu|X^{[2]}_{\Delta}}(-2)$를 통해 EZ-구형 객체로 표현된다.
• 아벨 표면 $A$에 대해 일반화된 쿠머 다양체 $K_{n-1}A$에서 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수의 제한은 $n^4$개의 서로 수직인 $\mathbb{P}^{n-1}$-객체로 분해되며, $A$의 각 $n$-torsion 점마다 하나의 객체가 존재한다.
• 이 $n^4$개의 객체들은 쿠머 표면 $K_1A$의 16개의 구형 객체를 일반화한다. 이들은 $a \in A_2$에 대해 $\mathcal{O}_{E(a)}(-2)[1]$로 주어지며, Bridgeland–King–Reid 동치 하에 $\Phi^{-1}(\mathbb{C}(\delta(a)))$로 식별된다.
• 유도된 자등형은 $\operatorname{Aut}(\operatorname{D}^b(X))$나 Addington의 함수에서 유도되는 것들과는 다르며, Fano 표면일지라도 표준적이지 않다.
• $\operatorname{D}^b(K_{n-1}A)$의 자등형 군은 $n^4$개의 서로 수직인 $\mathbb{P}^{n-1}$-객체에 대응하는 토글링으로 생성되는 $\mathbb{Z}^{n^4}$의 복사본을 포함한다.