[논문 리뷰] New Distributed Algorithms in Almost Mixing Time via Transformations from Parallel Algorithms

Mohsen Ghaffari, Jason Li|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 12.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 2인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 혼합 시간이 작은 네트워크에 대해 작업 효율적인 PRAM 알고리즘을 분산 알고리즘으로 변환하는 일반적인 변환을 제안하며, ${\tau_{\text{mix}}}(G)\cdot n^{o(1)}$ 라운드 내에서 거의 최적의 성능를 달성한다. 이는 근사 최대 유량, 최단 경로, 트랜스시프트와 같은 핵심 문제에 적용되며, 악성 그래프에서의 기존 하한선을 우회하고 잘 혼합되는 네트워크에서 이러한 문제에 대해 최초로 $\sqrt{n}$ 라운드 이하의 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

We show that many classical optimization problems --- such as $(1\pmε)$-approximate maximum flow, shortest path, and transshipment --- can be computed in $ ewcommand{ mix}{τ_{ ext{mix}}} mix(G)\cdot n^{o(1)}$ rounds of distributed message passing, where $ mix(G)$ is the mixing time of the network graph $G$. This extends the result of Ghaffari et al.\ [PODC'17], whose main result is a distributed MST algorithm in $ mix(G)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n \log\log n})}$ rounds in the CONGEST model, to a much wider class of optimization problems. For many practical networks of interest, e.g., peer-to-peer or overlay network structures, the mixing time $ mix(G)$ is small, e.g., polylogarithmic. On these networks, our algorithms bypass the $ ildeΩ(\sqrt n+D)$ lower bound of Das Sarma et al.\ [STOC'11], which applies for worst-case graphs and applies to all of the above optimization problems. For all of the problems except MST, this is the first distributed algorithm which takes $o(\sqrt n)$ rounds on a (nontrivial) restricted class of network graphs. Towards deriving these improved distributed algorithms, our main contribution is a general transformation that simulates any work-efficient PRAM algorithm running in $T$ parallel rounds via a distributed algorithm running in $T\cdot mix(G)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ rounds. Work- and time-efficient parallel algorithms for all of the aforementioned problems follow by combining the work of Sherman [FOCS'13, SODA'17] and Peng and Spielman [STOC'14]. Thus, simulating these parallel algorithms using our transformation framework produces the desired distributed algorithms. The core technical component of our transformation is the algorithmic problem of solving \emph{multi-commodity routing}---that is, roughly, routing $n$ packets each from a given source to a given destination---in random graphs. For this problem, we obtain a...

연구 동기 및 목표

• CONGEST 모델에서 작업 효율적인 병렬 알고리즘과 분산 계산 간 격차를 메우기 위해.
• 최악의 그래프에서 분산 최적화에 대한 $\tilde{\Omega}(\sqrt{n}+D)$ 라운드 하한선을 작고 혼합 시간이 짧은 네트워크에서 우회하기 위해.
• 잘 혼합되는 그래프에서 PRAM 알고리즘의 효율적인 분산 시뮬레이션을 가능하게 하는 일반적인 변환 프레임워크를 개발하기 위해.
• 실제 네트워크 구조인 피어 투 피어 및 오버레이 네트워크와 같은 실용적인 네트워크 토폴로지에서 기본적인 그래프 최적화 문제에 대해 $\sqrt{n}$ 라운드 이하의 복잡도를 달성하기 위해.
• 랜덤 그래프에서의 다중 물류 라우팅 기술을 향상시켜 주요 변환의 기초를 다지기 위해.

제안 방법

• 임의의 작업 효율적인 PRAM 알고리즘이 $T$개의 병렬 라운드 내에서 실행될 수 있도록 하는 일반적인 시뮬레이션 프레임워크를 제안하며, 이는 $T \cdot {\tau_{\text{mix}}}(G) \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ 라운드 내에서 분산 알고리즘으로 변환된다.
• Sherman, Peng, 그리고 Spielman의 최신 작업 효율적인 병렬 알고리즘을 활용하여 SDD 시스템, 최대 유량, 최단 경로, 트랜스시프트 문제를 해결한다.
• 랜덤 그래프에서의 새로운 분산 다중 물류 라우팅 알고리즘을 설계하여 $2^{O(\sqrt{\log n})}$ 라운드 내에서 실행되며, 이는 이전의 $2^{O(\sqrt{\log n \log \log n})}$-라운드 방법보다 향상된 것이다.
• 랜덤 라우팅, 로드 밸런싱, 분산 정렬의 조합을 사용하여 CONGEST 모델에서 PRAM 메모리 액세스 패턴을 효율적으로 시뮬레이션한다.
• 각 노드가 분산 정렬과 이진 탐색을 통해 출력 부분 그래프의 인cidient 엣지를 국지적으로 재구성함으로써 출력의 정확성을 보장한다.
• 입력 및 출력 데이터가 노드들 사이에 비례적으로 분포되어 있다고 가정하여, 각 노드가 최종 출력의 국지적 지식을 확보할 수 있도록 하여 특정 문제에 변환을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작업 효율적인 PRAM 알고리즘을 잘 혼합되는 네트워크 그래프의 효율적인 분산 알고리즘으로 체계적으로 변환할 수 있는가?
• RQ2 혼합 시간이 짧은 네트워크에서 분산 최적화에 대한 $\tilde{\Omega}(\sqrt{n}+D)$ 하한선을 우회할 수 있는가?
• RQ3 랜덤 그래프에서 다중 물류 라우팅의 최적 라운드 복잡도는 무엇이며, 이는 $2^{O(\sqrt{\log n \log \log n})}$를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 이 변환 프레임워크는 실용적인 네트워크 토폴로지에서 최대 유량 및 최단 경로와 같은 기본 문제에 대해 $\sqrt{n}$ 라운드 이하의 알고리즘을 도출할 수 있는가?
• RQ5 랜덤 그래프에서 다중 물류 라우팅에 대해 $\tilde{O}(1)$-라운드 알고리즘을 달성할 수 있으며, 이때 혼잡도와 딜레이션 모두 $\tilde{O}(1)$ 이하인가?

주요 결과

• 이 변환 프레임워크는 $(1\pm\epsilon)$-근사 최대 유량, 최단 경로, 트랜스시프트 문제에 대해 ${\tau_{\text{mix}}}(G) \cdot n^{o(1)}$ 라운드 내에서 분산 알고리즘을 가능하게 한다.
• 다양한 로그 시간이 짧은 네트워크, 예를 들어 랜덤 그래프와 피어 투 피어 오버레이 네트워크에서는 알고리즘이 $n^{o(1)}$ 라운드 내에서 실행되며, $\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$ 하한선을 우회한다.
• 비트리비얼한 그래프 클래스에서 최대 유량, 최단 경로, 트랜스시프트 문제에 대해 $o(\sqrt{n})$ 라운드 이하로 실행되는 최초의 분산 알고리즘을 달성한다.
• 랜덤 그래프에서의 새로운 분산 다중 물류 라우팅 알고리즘은 $2^{O(\sqrt{\log n})}$ 라운드 내에서 실행되며, 이는 이전의 $2^{O(\sqrt{\log n \log \log n})}$-라운드 알고리즘보다 향상된 것이다.
• MST 문제에 대해서는 프레임워크가 ${\tau_{\text{mix}}}(G) \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ 라운드 내에서 실행되는 개선된 알고리즘을 도출하며, 이는 이 문제에 대해 알려진 최고의 복잡도와 일치한다.
• 이 프레임워크는 일반적이며 모든 작업 효율적인 PRAM 알고리즘에 적용 가능하여, 잘 혼합되는 그래프에서 병렬 알고리즘 설계의 발전을 분산 환경으로 이식할 수 있다.