[논문 리뷰] New DNA Cyclic Codes over Rings

Nabil Bennenni, Kenza Guenda외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 23.

DNA and Biological Computing참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한환 위에서 DNA 순환 및 비순환 코드의 두 가지 새로운 가족을 소개한다: 하나는 $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 위에서, 원소와 64개의 코돈 사이의 일대일 대응을 통해 편집 거리 확장과 이진 준순환 코드로의 그레이 변환을 가능하게 하며, 다른 하나는 $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 위에서 $ v^2 = v $ 를 만족하여 역상보 성질을 유지하도록 설계된다. 주요 기여는 고리 기반 대수적 부호 이론을 통해 오류 내성 향상과 구조적 이점을 갖춘 DNA 부호를 구성하는 데 있다.

ABSTRACT

This paper is dealing with DNA cyclic codes which play an important role in DNA computing and have attracted a particular attention in the literature. Firstly, we introduce a new family of DNA cyclic codes over the ring $R=\mathbb{F}_2[u]/(u^6)$. Such codes have theoretical advantages as well as several applications in DNA computing. A direct link between the elements of such a ring and the $64$ codons used in the amino acids of the living organisms is established. Such a correspondence allows us to extend the notion of the edit distance to the ring $R$ which is useful for the correction of the insertion, deletion and substitution errors. Next, we define the Lee weight, the Gray map over the ring $R$ as well as the binary image of the cyclic DNA codes allowing the transfer of studying DNA codes into studying binary codes. Secondly, we introduce another new family of DNA skew cyclic codes constructed over the ring $ ilde {R}=\mathbb{F}_2+v\mathbb{F}_2=\{0,1,v,v+1\}$ where $v^2=v$ and study their property of being reverse-complement. We show that the obtained code is derived from the cyclic reverse-complement code over the ring $ ilde {R}$. We shall provide the binary images and present some explicit examples of such codes.

연구 동기 및 목표

• 64개의 원소를 가진 환 $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 위에서 DNA 순환 부호를 개발하여 코돈을 모델링하고 오류 수정 성능을 향상시키기.
• 환 원소와 아미노산 번역에 사용되는 64개의 코돈 사이의 일대일 대응을 수립하기.
• 환 $ R $ 위에서 리우 무게와 그레이 변환을 정의하여 DNA 부호 분석을 이진 준순환 부호로 이행할 수 있도록 하기.
• 역상보 성질을 유지하도록 $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 위에서 비순환 DNA 부호를 구성하기.
• 이러한 부호의 명시적 구성과 이진 이미지를 제공하여 DNA 계산 및 오류 수정 분야에서의 유용성을 입증하기.

제안 방법

• 환 $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 의 원소와 A, G, C, T로 이루어진 64가지 가능한 코돈(삼중조) 사이의 이분법적 사상 수립.
• 환 원소의 이진 표현의 하밍 무게를 기반으로 $ R $ 위에서 리우 무게 정의.
• 각 환 원소를 6비트 이진 벡터로 매핑하는 그레이 변환 $ \varphi: R \to \mathbb{F}_2^6 $ 정의하여 부호의 구조를 유지.
• 환 $ R $ 위에서 순환 DNA 부호를 몫환 $ R[x]/(x^n - 1) $ 내의 이상으로 구성하며, $ x^n - 1 $ 의 인수분해를 활용.
• $ \theta(v) = v $ 를 만족하는 자동형 $ \theta $ 를 사용한 비순환 다항식 환을 이용해 $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 위에서 비순환 부호 정의.
• DNA 뉴클레오타이드를 이진 쌍으로 매핑하는 이진 이미지 변환 $ \psi $ 를 사용: G→(0,0), A→(1,1), T→(0,1), C→(1,0), 이로써 이진 부호 표현 가능하게 하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 환 원소와 코돈 사이의 일대일 대응을 수립하여 DNA 부호 구성에 기여할 수 있는가?
• RQ2 편집 거리 개념을 이진 문자열에서 $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 위의 부호로 확장하여 DNA 계산에서 오류 수정 성능을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 환 $ R $ 위에서의 순환 DNA 부호의 구조는 어떠한가? 그리고 그 이진 이미지는 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 어떻게 $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 위에서 비순환 DNA 부호를 구성하여 역상보 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ5 비순환 부호가 $ \tilde{R} $ 위에서 역상보로 닫혀 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 64개의 원소를 가진 환 $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 와 64개의 코돈 사이의 일대일 대응이 수립되어 유전 서열의 직접적인 대수적 모델링이 가능해졌다.
• 편집 거리 개념이 $ R $ 위의 부호로 확장되어 삽입, 삭제, 치환 오류를 모두 수정할 수 있게 되었으며, 하밍 거리나 삭제 거리와는 달리 보다 넓은 오류 유형을 다룰 수 있다.
• 그레이 변환 $ \varphi $ 는 $ R $ 위의 순환 DNA 부호를 인덱스 6, 길이 $ 6n $ 인 이진 준순환 부호로 매핑하며, 부호의 구조를 유지하고 이진 분석을 가능하게 한다.
• $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 위에서 비순환 DNA 부호는 생성 다항식이 자기역상이고 $ v(x^n - 1)/(x - 1) \in \mathcal{C} $ 를 만족할 경우 역상보로 닫혀 있음을 보장한다.
• $ \tilde{R} $ 위에서의 비순환 부호의 이진 이미지는 길이 $ 2n $, 인덱스 2인 비순환 준순환 부호이며, 거리와 선형성을 유지한다.
• 역상보 성질을 갖는 $[10,6,2]$ 비순환 DNA 부호의 명시적 예가 제시되어 구성의 실현 가능성과 구조적 특성을 입증하였다.