[논문 리뷰] New Estimates for Some Functions Defined Over Primes

Christian Axler|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 23.

Analytic Number Theory Research인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 체비셰프의 $\vartheta$-함수에 대한 새로운 명시적 상한을 제시하며, 이는 소수 계수 함수 $\pi(x)$, 합 $\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$, $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$, 곱 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$에 대한 상당히 향상된 상한 및 하한 추정치를 도출하는 데 사용된다. 주요 기여는 기존의 명시적 추정치를 향상시키고 짧은 간격 내 소수에 관한 새로운 결과를 이끌어내는 더 날카운 오차 항을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper we first establish new explicit estimates for Chebyshev's $\vartheta$-function. Applying these new estimates, we derive new upper and lower bounds for some functions defined over the prime numbers, for instance the prime counting function $π(x)$, which improve the currently best ones. Furthermore, we use the obtained estimates for the prime counting function to give two new results concerning the existence of prime numbers in short intervals.

연구 동기 및 목표

• 체비셰프의 $\vartheta$-함수 $\vartheta(x) = \sum_{p\leq x} \log p$에 대한 더 날카운 명시적 상한 및 하한을 확립하기 위해.
• 이러한 상한을 사용하여 소수 계수 함수 $\pi(x)$에 대한 개선된 명시적 추정치를 도출하기 위해.
• 합 $\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$, $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$, 곱 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ 등의 소수에 대한 합과 곱의 추정치를 보완하기 위해.
• 개선된 $\pi(x)$ 추정치를 활용하여 짧은 간격 내 소수의 존재에 관한 새로운 결과를 증명하기 위해.

제안 방법

• 해석적 수론 기법과 리만 제타함수의 알려진 영이 없는 영역을 이용하여 $\vartheta(x)$에 대한 새로운 명시적 상한을 유도하기 위해.
• $\pi(x)$를 추정하기 위해 $\vartheta(x)$의 상한을 적분 항등식 $\pi(x) = \frac{\vartheta(x)}{\log x} + \int_2^x \frac{\vartheta(t)}{t \log^2 t} dt$에 적용하기 위해.
• 합 $\log p/p$에 대한 추정치를 보완하기 위해 관계식 $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p} = \log x + E + \frac{\vartheta(x)-x}{x} - \int_x^\infty \frac{\vartheta(y)-y}{y^2} dy$를 활용하기 위해.
• 곱의 항등식 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right) = \frac{e^{-\gamma}}{\log x} \exp\left(-\sum_{k=2}^\infty \sum_{p>x} \frac{1}{k p^k}\right)$을 이용하여 오일러 곱의 상한을 도출하기 위해.
• 소수 $x$ 값에 대한 수치적 검증을 통해 점 渐진 범위를 초월한 상한을 확인하기 위해 컴퓨터 보조 검증을 활용하기 위해.
• 코로보프, 비노그라도프, 쇼엔펠드의 알려진 점근 전개 및 오차 항 추정치를 활용하여 오차 항 내 상수를 보완하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 추정치를 초월하는 더 날카운 명시적 상한을 $\vartheta(x)$에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ2 개선된 $\vartheta(x)$ 상한이 $\pi(x)$에 대한 더 나은 명시적 추정치로 어떻게 이어지는가?
• RQ3 보완된 $\pi(x)$ 추정치를 활용하여 짧은 간격 내 소수의 존재에 관한 더 강력한 결과를 증명할 수 있는가?
• RQ4 합 $\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}$ 및 곱 $\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$의 오차 항을 어느 정도까지 날카럽게 만들 수 있는가?
• RQ5 이러한 개선된 상한이 소수 관련 함수의 효과적 계산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $x \geq 19,035,709,163$ 에 대해 $\vartheta(x) > x - \frac{0.15x}{\log^3 x}$ 이 성립하며, 이는 이전의 명시적 추정치를 향상시킨다.
• 모든 $x > 1$ 에 대해 $\vartheta(x) < x + \frac{0.15x}{\log^3 x}$ 가 확립되며, 더 날카운 상한 추정치를 제공한다.
• 모든 $x \geq 49$ 에 대해 새로운 상한 $\pi(x) < \frac{x}{\log x - 1 - \frac{1}{\log x} - \frac{3.15}{\log^2 x} - \cdots - \frac{4585}{\log^6 x}}$ 는 현재 알려진 최고의 추정치를 초월한다.
• 모든 $x \geq 19,033,744,403$ 에 대해 새로운 하한 $\pi(x) > \frac{x}{\log x - 1 - \frac{1}{\log x} - \frac{2.85}{\log^2 x} - \cdots - \frac{3428.7225}{\log^6 x}}$ 는 이전에 알려진 것보다 더 날카로운 하한 추정치를 제공한다.
• 모든 $x \geq 6,034,256$ 에 대해 $x < p \leq x\left(1 + \frac{0.087}{\log^3 x}\right)$ 를 만족하는 소수 $p$ 가 존재하며, 버트란드의 추측을 보완한다.
• 모든 $x > 1$ 에 대해 $x < p \leq x\left(1 + \frac{198.2}{\log^4 x}\right)$ 를 만족하는 소수 $p$ 가 존재하며, 이는 이전의 짧은 간격 결과를 향상시킨다.