[논문 리뷰] New examples of complete Calabi-Yau metrics on $\mathbb{C}^n$ for $n\ge 3$

Ronan J. Conlon, Frédéric Rochon|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모든 $n \geq 3$ 에 대해, 평탄한 메트릭과 등距가 아닌, 유클리드 체적 성장과 형태 $\mathbb{C} \times V_{0,k}$ 의 특이 접선 콘을 가진 $\mathbb{C}^n$ 위의 새로운 완전한 칼라비-유우 메트릭을 구성한다. 여기서 $V_{0,k}$ 는 켈러-아인슈타인 페아 노르만 곡면 위의 칼라비-유우 콘이다. 이 구성은 특이 콘 $V_{0,k} \times \mathbb{C}$ 의 스무딩을 $P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1}$ 의 변형을 통해 수행하고, 그 결과로 얻어진 매끄러운 다양체 위에서 복소 멩게-암페르 방정식을 푸는 방식이다. 이 다양체는 $\mathbb{C}^n$ 과 복소해석적으로 동형이다. 주요 기여는 $\mathbb{C}^n$ 에서 유클리드 체적 성장을 갖는 모든 칼라비-유우 메트릭이 평탄해야 한다는 티안의 추측에 대한 반례를 제시하는 것이다.

ABSTRACT

For each $n\ge 3$, we construct on $\mathbb{C}^n$ examples of complete Calabi-Yau metrics of Euclidean volume growth having a tangent cone at infinity with singular cross-section.

연구 동기 및 목표

• 티안의 추측을 반증하기 위해, $n \geq 3$ 에서 $\mathbb{C}^n$ 에서 유클리드 체적 성장을 갖는 모든 칼라비-유우 메트릭이 평탄해야 한다는 것에 대한 반례를 제시하는 것.
• 유클리드 체적 성장과 무한대에서의 특이 접선 콘을 가진 $\mathbb{C}^n$ 위의 완전한 칼라비-유우 메트릭의 명시적 예제를 구성하는 것.
• 동일한 복소다양체 $\mathbb{C}^n$ 위에서 동일한 켈러 클래스 내에 존재하는 여러 등距가 아닌 칼라비-유우 메트릭이 존재할 수 있음을 보여주는 것. 이들은 비대칭 기하학에서 다를 수 있다.
• 특이 가로절단을 가진 무한대에서의 수렴형 칼라비-유우 메트릭에 대한 이해를 확장하기 위해, 이러한 메트릭을 구성하는 것.

제안 방법

• $V_{0,k}$ 를 $\mathbb{CP}^{n-1}$ 에서의 도수 $k$ 의 켈러-아인슈타인 페아 노르만 곡면 $F_k$ 위의 애파인 콘으로 하여, $\mathbb{C} \times V_{0,k}$ 의 $\mathbb{C}^*$-등변 변형을 사용한다. 여기서 $2 \leq k \leq n-1$ 이다.
• $P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1}$ 의 방정식을 통해 $V_{0,k} \times \mathbb{C}$ 의 스무딩 $W_{\epsilon,k}$ 를 구성한다. 이는 $\mathbb{C}^n$ 과 복소해석적으로 동형이다.
• $W_{\epsilon,k}$ 를 두 개의 경계 초면 $\mathcal{H}_1$ 과 $\mathcal{H}_2$ 를 가진 모서리가 있는 다양체 $\mathcal{W}_{\epsilon,k}$ 로 콪 pactify 하여, 메트릭의 비대칭 행동을 모델링한다.
• $W_{\epsilon,k}$ 위에 무한대에서 $g_{V_{0,k}} \times g_{\mathbb{C}}$ 의 곱 메트릭을 모델로 하는 비로소 칼라비-유우 메트릭을 구성한다.
• 비로소 칼라비-유우 메트릭으로 변형하기 위해 복소 멩게-암페르 방정식을 푸는 편미분 방법을 적용한다.
• 엣지와 가중 색볼레프 공간 위에서 라플라스 연산자의 사상 성질을 사용하여 프레드홀름 이론과 선형화된 연산자의 가역성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대에서 특이 접선 콘을 가지며 유클리드 체적 성장을 갖는 $\mathbb{C}^n$ ($n \geq 3$) 에서 비평탄한 완전한 칼라비-유우 메트릭이 존재할 수 있는가?
• RQ2 티안의 추측, 즉 $n \geq 3$ 에서 $\mathbb{C}^n$ 에서 이러한 모든 메트릭이 평탄해야 한다는 것은 참인가?
• RQ3 동일한 복소다양체 $\mathbb{C}^n$ 에서 동일한 켈러 클래스 내에 비등거리가 다른 여러 칼라비-유우 메트릭이 존재할 수 있는가? 이들은 비대칭 기하학에서 다를 수 있다.
• RQ4 페아 노르만 가로절단을 가진 특이 칼라비-유우 콘의 스무딩 위에 완전한 칼라비-유우 메트릭이 존재하기 위한 필요 및 충분조건은 무엇인가?

주요 결과

• $n \geq 3$ 이고, $2 \leq k \leq n-1$ 인 각 $k$ 에 대해, $\mathbb{CP}^{n-1}$ 에서 도수 $k$ 의 켈러-아인슈타인 페아 노르만 곡면 $F_k$ 가 주어지면, $\mathbb{C}^n$ 위에 유클리드 체적 성장과 무한대에서 접선 콘 $\mathbb{C} \times V_{0,k}$ 을 가지는 완전한 칼라비-유우 메트릭이 존재한다.
• 이 메트릭들은 $\mathbb{C}^n$ 의 표준 평탄한 메트릭과 등거리가 아니므로, $n \geq 3$ 에서 티안의 추측에 대한 반례를 제공한다.
• 이 구성은 방정식 $P_k(z_1,\dots,z_n) = \epsilon z_{n+1}$ 을 통해 특이 콘 $V_{0,k} \times \mathbb{C}$ 의 스무딩에 기반하며, 이는 $\mathbb{C}^n$ 과 복소해석적으로 동형인 다양체를 얻는다.
• 메트릭의 비대칭 행동은 $V_{0,k}$ 에서의 칼라비-유우 콘 메트릭과 $\mathbb{C}$ 에서의 유클리드 메트릭의 곱을 모델로 하며, 메트릭이 무한대에서 이 모델로 감소한다.
• 엣지 특이성을 가진 가중 색볼레프 공간 위에서 라플라스 연산자의 프레드홀름 이론이 확립되어, 선형화된 복소 멩게-암페르 연산자의 가역성을 보장한다.
• 결과로 얻어진 칼라비-유우 메트릭은 다항형이며 이산 스펙트럼을 가지며, 라플라스 연산자의 역은 제어된 감쇠를 가지는 엣지 미분연산자 클래스에 속한다.