[논문 리뷰] New examples on spaces of negative sectional curvature satisfying Ma-Trudinger-Wang conditions

Paul W. Y. Lee, Jiayong Li|ArXiv.org|2009. 11. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $-1$ 또는 $1$의 일정한 섹션 굴률을 갖는 다양체 위의 리만 거리 $ d $ 에 대해 $ c = l \circ d $ 인 비용 함수 $ c $ 가 Ma-Trudinger-Wang (MTW) 조건을 만족하도록 하는 함수 $ l $ 에 대한 계산 가능한 조건을 확립한다. 이는 히perspace에서 강력한 MTW 조건을 만족하는 명시적이고 새로운 예시들—예를 들어 $ -\cosh \circ d $ 와 $ -\log(1 + \cosh) \circ d $ — 를 제공하며, 최적 운반 이론의 정규성 이론이 적용 가능한 다양체의 알려진 범주를 크게 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the Ma-Trudinger-Wang (MTW) conditions for cost functions $c$ which are of the form $c=l\circ d$, where $d$ is a Riemannian distance function with constant sectional curvature. In this case, the MTW conditions are equivalent to some computable conditions on the function $l$. As a corollary, we give some new costs on Riemannian manifolds of constant negative curvature for which the MTW conditions are satisfied.

연구 동기 및 목표

• 일정한 음의 굴률을 갖는 다양체에서 비용 함수 $ c = l \circ d $ 가 Ma-Trudinger-Wang (MTW) 조건을 만족하도록 하는 함수 $ l $ 에 대한 계산 가능한 조건을 규명하는 것.
• 특히 최적 운반 정규성 이론의 맥락에서 MTW 조건이 성립하는 리만 다양체의 알려진 범주를 확장하는 것.
• 히퍼볼릭 공간 ($K = -1$)과 구면 ($K = 1$)에서 강력하고 약한 MTW 조건을 만족하는 명시적이고 해석적으로 다룰 수 있는 비용 함수의 예를 제공하는 것.
• 유클리드 제곱 비용의 변형을 분석하고, 유계 도메인에서 강력한 MTW 조건을 만족하는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 기저가 되는 다양체의 일정한 굴률 구조를 활용하여 $ c = l \circ d $ 가 MTW 조건을 만족하기 위한 $ l $ 에 대한 필요 및 충분 조건을 유도하는 것.
• MTW 조건이 $ l $, 그 도함수, 그리고 굴률을 포함하는 계산 가능한 부등식으로 축소됨을 이용하여 명시적 검증이 가능하도록 하는 것.
• 비용 지수 사상 구축을 통해 $ c $ 의 도함수와 $ l' $ 의 역함수를 연결함으로써 티스터 조건 (A1) 가 성립함을 보장하는 것.
• 컷 로커스 외부에서 지오데식의 유일성을 활용하여 $ c $-지수 사상을 정의하고, 미분 가능성 (A2) 를 검증하는 것.
• 유클리드 비용 $ z^2/2 $ 에 대한 변형 분석을 수행하고, 4차 보정항 $ -\varepsilon z^4 $ 을 도입한 후 $ \varepsilon $ 에 대한 테일러 전개를 통해 얻어진 MTW 조건을 분석하는 것.
• 헤시안과 굴률 텐서와 같은 미분기하학적 도구를 활용하여 MTW 조건을 $ l $ 과 그 도함수에 대한 국소 부등식으로 축소하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건이 함수 $ l $ 에 대해 비용 함수 $ c = l \circ d $ 가 일정한 섹션 굴률을 갖는 다양체에서 Ma-Trudinger-Wang 조건을 만족하도록 보장하는가?
• RQ2 히퍼볼릭 공간 ($K = -1$) 에서 강력한 MTW 조건을 만족하는 명시적이고 비자명한 비용 함수의 예를 구성할 수 있는가?
• RQ3 유클리드 제곱 비용 $ z^2/2 $ 의 변형이 유계 도메인에서 강력한 MTW 조건의 유효성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 $ l' $ 의 역함수는 $ c $-지수 사상의 정의와 티스터 조건 (A1) 를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 히퍼볼릭 또는 구면 공간에서 $ \cosh $, $ \log(1 + \cosh) $, 또는 $ \log(1 + \cos) $ 를 포함하는 비용 함수에 대해 MTW 조건을 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 굴률 $-1$ 인 히퍼볼릭 공간에서 비용 함수 $ -\cosh \circ d $ 는 강력한 MTW 조건을 만족한다.
• 굴률 $-1$ 인 히퍼볼릭 공간에서 비용 함수 $ -\log(1 + \cosh) \circ d $ 도 강력한 MTW 조건을 만족한다.
• 굴률 $-1$ 인 히퍼볼릭 공간에서 비용 함수 $ \pm \log(\cosh) \circ d $ 는 약한 MTW 조건을 만족한다.
• 굴률 $1$ 인 구면에서 비용 함수 $ -\log(1 + \cos) \circ d $ 는 강력한 MTW 조건을 만족한다.
• 충분히 작은 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해, 변형된 비용 함수 $ l_\varepsilon(z) = z^2/2 - \varepsilon z^4 $ 는 임의의 고정된 $ b > 0 $ 에 대해 $ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2n} : |x-y| \leq b \} $ 에서 강력한 MTW 조건을 만족한다.
• MTW 조건은 $ l $, $ l' $, $ l'' $ 을 포함하는 계산 가능한 부등식으로 축소되며, 이는 일정한 굴률을 갖는 대칭 공간에서의 명시적 검증을 가능하게 한다.