[논문 리뷰] New family of bound entangled states residing on the boundary of Peres set

Saronath Halder, Manik Banik외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 홀수 $d \geq 5$ 에 대해 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 에서의 비확장 가능한 곱 기저(UPB)를 사용하여 $(d-3)/2$-파라미터 가족의 유계된 얽힘 상태(PPT-BE 상태)를 구성한다. 이 상태들은 페르스 집합(PPT 상태의 집합)의 경계 위에 위치함을 보여주며, 각 PPT-BE 상태는 $(d-1)/2$ 개의 랭크-4 극단적 PPT-BE 상태의 볼록 조합임을 드러낸다. 이로 인해 PPT와 비-PPT 상태 사이의 경계에 $(d-3)/2$-단체가 형성된다.

ABSTRACT

Bound entangled (BE) states are strange in nature: non-zero amount of free entanglement is required to create them but no free entanglement can be distilled from them under local operations and classical communication (LOCC). Even though usefulness of such states has been shown in several information processing tasks, there exists no simple method to characterize all these states for an arbitrary composite quantum system. Here we present a $(d-3)/2$-parameter family of BE states each with positive partial transpose (PPT). This family of PPT-BE states is introduced by constructing an unextendible product basis (UPB) in $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ with $d$ odd and $d\ge 5$. We also provide the `tile structure' corresponding to these UPBs. The range of each such PPT-BE state is contained in a $2(d-1)$ dimensional entangled subspace whereas the associated UPB-subspace is of dimension $(d-1)^2+1$. We further show that each of these PPT-BE states can be written as a convex combination of $(d-1)/2$ number of rank-4 PPT-BE states. Moreover, we prove that these rank-4 PPT-BE states are extreme points of the convex compact set $\mathcal{P}$ of all PPT states in $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$, namely the {\it Peres} set. An interesting geometric implication of our result is that the convex hull of these rank-4 PPT-BE extreme points -- the $(d-3)/2$-simplex -- is sitting on the boundary between the set $\mathcal{P}$ and the set of non-PPT states. We also discuss consequences of our construction in the context of quantum state discrimination by LOCC.

연구 동기 및 목표

• 고차원 시스템에서 양의 부분 전치(PPT)를 가진 연속적인 유계 얽힘 상태 가족을 구성하는 것.
• 모든 PPT 상태 집합($\mathcal{P}$) 내에서 이러한 PPT-BE 상태의 기하학적 구조를 규명하는 것.
• 랭크-4 PPT-BE 상태들이 $\mathcal{P}$ 의 극단점임을 규명함으로써 페르스 집합의 경계 구조를 명확히 하는 것.
• 이 구성이 국소 양자 상태 구분 및 얽힘 농축에 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 홀수 $d \geq 5$ 에 대해 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 에서 비확장 가능한 곱 기저(UPB)를 구성하여 PPT-BE 상태의 가족을 생성하는 것.
• 힐베르트 공간 내에서 UPB 원소들의 기하적 배열을 시각화하고 분석하기 위해 '타일 구조(tile structure)'를 정의하는 것.
• 각 PPT-BE 상태의 범위가 $2(d-1)$-차원 얽힘 부분공간에 포함됨을 증명하는 것. 이때 UPB 부분공간의 차원은 $(d-1)^2 + 1$ 이다.
• 이 가족에 속한 모든 PPT-BE 상태가 $(d-1)/2$ 개의 랭크-4 PPT-BE 상태의 볼록 조합으로 표현될 수 있음을 보여주는 것.
• $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 에서 모든 PPT 상태의 컴act 볼록 집합 $\mathcal{P}$ 의 극단점으로서 이 랭크-4 PPT-BE 상태들이 극단점임을 입증하는 것.
• 이 극단점들의 볼록 hull 이 $\mathcal{P}$ 와 비-PPT 상태 집합 사이의 경계 위에 위치한 $(d-3)/2$-단체를 형성함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 UPB를 이용하여 고차원 시스템에서 연속적인 PPT-유계 얽힘 상태 가족을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 PPT-BE 상태들이 모든 PPT 상태 집합(페르스 집합) 내에서 기하학적으로 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이 가족 내 랭크-4 PPT-BE 상태들이 집합 $\mathcal{P}$ 의 극단점인가?
• RQ4 이 극단점들의 볼록 hull 이 페르스 집합의 경계 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 구성은 LOCC 하에서 양자 상태의 국소적 구분에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 홀수 $d \geq 5$ 에 대해 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 에서 $(d-3)/2$-파라미터 가족의 PPT-BE 상태를 UPB 구성법을 통해 구성한다.
• 각 PPT-BE 상태의 범위는 $2(d-1)$-차원 얽힘 부분공간에 포함되며, 관련된 UPB 부분공간의 차원은 $(d-1)^2 + 1$ 이다.
• 이 가족에 속한 모든 상태는 $(d-1)/2$ 개의 랭크-4 PPT-BE 상태의 볼록 조합으로 표현될 수 있다.
• 이 랭크-4 PPT-BE 상태들이 $\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$ 에서 모든 PPT 상태의 컴 pact 볼록 집합 $\mathcal{P}$ 의 극단점임이 증명된다.
• 이 극단점들의 볼록 hull 은 $\mathcal{P}$ 와 비-PPT 상태 집합 사이의 경계 위에 위치한 $(d-3)/2$-단체를 형성한다.
• 이 구성은 페르스 집합의 경계 구조를 이해하는 기하학적 프레임워크를 제공하며, LOCC 상태 구분에 대한 함의를 지닌다.