[논문 리뷰] New first order Lagrangian for General Relativity

Yannick Herfray, Kirill Krasnov|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 30.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 보조 라그랑주 승수 없이 4차원 시공간에서 일반 상대성 이론을 위한 새로운 제1차 라그랑주 함수를 제안한다. 이는 SO(3,C)-접속과 리대수에 값을 갖는 2형식 장을 사용하며, α=0일 때는 위상론적 중력, λ=0일 때는 반자기적-자기적 중력으로의 보간을 보인다. 일반적인 α,λ 값에서는 진공 에너지 상수와 위상론적 항을 포함한 전체 일반 상대성 이론을 기술한다. 이는 양-밀스 이론의 변형과 유사한 통합된 제1차 기술을 제공한다.

ABSTRACT

We describe a new BF-type first-order in derivatives Lagrangian for General Relativity. The Lagrangian depends on a connection field as well as a Lie-algebra valued two-form field, with no other fields present. There are two free parameters, which translate into the cosmological constant and the coefficient in front of a topological term. When one of the parameters is set to zero, the theory becomes topological. When the other parameter is zero, the theory reduces to the (anti-) self-dual gravity. Thus, our new Lagrangian interpolates between the topological and anti-self-dual gravities. It also interprets GR as the (anti-) self-dual gravity with an extra quadratic in the auxiliary two-form field term added to the Lagrangian, precisely paralleling the situation in Yang-Mills theory.

연구 동기 및 목표

• 라그랑주 승수 장이 필요 없이 일반 상대성 이론의 제1차 라그랑주 함수를 구성하는 것, 이는 펠반스키의 기술과는 다름.
• 위상론적 중력과 반자기적-자기적 중력을 하나의 라그랑주 프레임워크 안에서 통합적으로 기술하는 것.
• 양-밀스 이론에서 관찰되는 변형 구조와 유사한 제1차 기술을 통해 일반 상대성 이론을 기술하는 것.
• 반자기적-자기적 중력의 통합적 구조를 기반으로 하여 전체 일반 상대성 이론의 트위스터 기술 가능성을 열어두는 것.
• 위상론적 및 반자기적-자기적 영역를 기존 양자 중력 모델과 연결하여 스핀โฟ음 양자화와의 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• 라그랑주 함수는 $\mathcal{L}_{\text{GR}}[B,A] = B^i \wedge F^i + \frac{\alpha}{2}\left(\text{Tr}(\sqrt{B^i \wedge B^j})\right)^2 - \frac{\lambda}{2}B^i \wedge B^i$ 로 정의되며, 매개변수 α와 λ를 포함한다.
• 첫 번째 항은 표준 BF 항이며, 두 번째 항은 2형식 장에 비다항적 제곱근 구조를 도입한다. 세 번째 항은 진공 에너지 상수 항이다.
• 이론은 α=0일 때 위상론적 중력으로, λ=0일 때는 반자기적-자기적 중력으로 축소되며, 일반적인 α,λ ≠ 0일 때는 전체 일반 상대성 이론의 진공 에너지 상수와 위상론적 항을 포함한다.
• 2형식 장을 통합하여 순수한 접속 기술을 유도하며, $\mathcal{L}_{\text{GR}}[A] = \frac{\alpha}{2\lambda(\lambda - 3\alpha)}\left(\text{Tr}(\sqrt{F^i \wedge F^j})\right)^2 + \frac{1}{2\lambda}F^i \wedge F^i$ 를 얻는다. 이는 일반 상대성 이론의 역학을 확인한다.
• 매개변수 λ는 진공 에너지 상수를 제어하며, α는 위상론적 항을 제어한다. 뉴턴 상수는 1로 설정된다.
• λ→0 근처에서의 극한은 곡률에 반자기적 조건을 강제로 부여함으로써 반자기적-자기적 중력의 극한을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 승수 장이 없이도 진공 에너지 상수를 포함한 전체 일반 상대성 이론의 역학을 기술할 수 있는 제1차 라그랑주 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 2형식 장에 비다항적 제곱근 항을 포함시키는 것이 일반 상대성 이론의 구조와 그 변형과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 반자기적-자기적 중력 영역이 전체 일반 상대성 이론과 위상론적 중력을 포함하는 더 큰 라그랑주 프레임워크 내에 자연스럽게 통합될 수 있는가?
• RQ4 위상론적 및 반자기적-자기적 중력 영역를 하나의 제1차 작용과 동일한 장 집합으로 일관되게 통합할 수 있는가?
• RQ5 이 새로운 라그랑주 프레임워크는 자성-자기적 양-밀스 이론의 알려진 트위스터 작용과 유사하게 전체 일반 상대성 이론의 트위스터 기술을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 라그랑주 함수 $\mathcal{L}_{\text{GR}}[B,A]$ 는 일반 상대성 이론을 비영인 진공 에너지 상수와 위상론적 항을 포함해 기술한다. 매개변수 α와 λ의 일반적인 값에서 성립한다.
• α=0일 때 이론은 알려진 위상론적 장 이론으로 축소되며, λ=0일 때는 반자기적-자기적 중력으로 축소된다. 이는 두 극한 사이의 보간을 확인한다.
• 2형식 장을 통합하여 유도된 순수한 접속 기술은 진공 에너지 상수를 포함한 일반 상대성 이론의 기존 순수 접속 작용과 일치하며, 일관성을 확인한다.
• 순수한 접속 라그랑주 함수에서 λ→0 근처의 극한은 곡률 행렬의 고유값이 기하학적 중복성을 띠게 되는 경우를 제외하고 발산한다. 이는 반자기적-자기적 조건과 대응한다.
• 라그랑주 함수의 구조는 자성-자기적 양-밀스 이론에서 자성-자기적 두 번째 형식 장에 대한 제곱항으로의 변형과 유사하다.
• 이 새로운 기술은 반자기적-자기적 중력의 통합적 구조를 기반으로 하여 전체 일반 상대성 이론의 트위스터 기술로 가는 길을 열어주며, 양-밀스 이론의 MHV 규칙에 유사하게 기능한다.