[논문 리뷰] New formulations and branch-and-cut procedures for the longest induced path problem

Ruslán G. Marzo, Rafael A. Melo외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 19.

Data Management and Algorithms참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 그래프에서 NP-난이도인 최장 유도 경로 문제(LIPP)를 위한 지수적으로 많은 제약 조건을 가진 두 가지 새로운 정수계획법 설정을 제안한다. 하나는 명시적 사이클 제거(cec) 기반이고, 다른 하나는 컷셋 제약 조건(cut) 기반이다. cec는 이론적으로 더 약한 것으로 간주되지만, 계산 실험 결과 모든 이전 설정보다 뛰어난 성능을 보이며, 시간 제한 내에 1,065개의 벤치마크 인스턴스 중 1,064개를 최적해로 해결했고, 중앙값 해법 시간도 크게 단축시켰다. 또한, 온난 시작(warm starts)을 추가하면 어려운 인스턴스에서 성능이 더욱 향상된다.

ABSTRACT

Given an undirected graph $G=(V,E)$, the longest induced path problem (LIPP) consists of obtaining a maximum cardinality subset $W\subseteq V$ such that $W$ induces a simple path in $G$. In this paper, we propose two new formulations with an exponential number of constraints for the problem, together with effective branch-and-cut procedures for its solution. While the first formulation (cec) is based on constraints that explicitly eliminate cycles, the second one (cut) ensures connectivity via cutset constraints. We compare, both theoretically and experimentally, the newly proposed approaches with a state-of-the-art formulation recently proposed in the literature. More specifically, we show that the polyhedra defined by formulation cut and that of the formulation available in the literature are the same. Besides, we show that these two formulations are stronger in theory than cec. We also propose a new branch-and-cut procedure using the new formulations. Computational experiments show that the newly proposed formulation cec, although less strong from a theoretical point of view, is the best performing approach as it can solve all but one of the 1065 benchmark instances used in the literature within the given time limit. In addition, our newly proposed approaches outperform the state-of-the-art formulation when it comes to the median times to solve the instances to optimality. Furthermore, we perform extended computational experiments considering more challenging and hard-to-solve larger instances and evaluate the impacts on the results when offering initial feasible solutions (warm starts) to the formulations.

연구 동기 및 목표

• 일般 그래프에서 NP-난이도인 최장 유도 경로 문제(LIPP)를 위한 더 강력하고 효율적인 설정을 개발하기 위해.
• 새로운 제약 조건과 커팅 평면 휴리스틱을 활용한 효과적인 브랜치 앤 컷 절차를 설계하기 위해.
• 어려운 대규모 LIPP 인스턴스를 해결하는 데 있어 온난 시작(초기 가용해)의 영향을 평가하기 위해.
• 기존 최신 기법과의 이론적 강도와 계산 성능를 비교하기 위해.
• 기존의 23개의 대규모 인스턴스보다 더 어려운 새로운 벤치마크 세트에 대한 경험적 평가를 확장하기 위해.

제안 방법

• 두 가지 새로운 정수계획법 설정인 cec(사이클 제거 제약 조건)과 cut(커넥티비티 기반 컷셋 제약 조건)을 제안하며, 둘 다 경로의 끝점을 연결하기 위해 가짜 정점 s를 사용한다.
• cec 설정은 정점의 부분집합에 대한 제약 조건을 통해 사이클을 명시적으로 금지한다.
• cut 설정은 모든 적절한 정점 부분집합이 그 여부와 관계없이 적어도 하나의 간선을 그 보완 집합으로 향하도록 보장함으로써 연결성을 확보한다.
• 최대 클리크에 대해 사전에 또는 휴리스틱적 분리 절차를 통해 동적으로 클리크 부등식을 분리하는 브랜치 앤 컷 프레임워크를 구현한다.
• 수렴 속도 향상과 최적성 갭 변동성 감소를 위해 초기 가용해를 제공하는 온난 시작 전략을 사용한다.
• 표준 1,065개의 인스턴스와 23개의 새로운 어려운 인스턴스를 대상으로 광범위한 계산 실험을 수행하였으며, Böckler 등(2020)의 최신 기법과 cec, cut 및 그 온난 시작 변종을 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Böckler 등(2020a)의 최신 기법과 비교했을 때, 새로운 설정(cel 및 cut)의 이론적 다각체 성질은 어떻게 다른가?
• RQ2 이론적으로 더 약한 cec 설정이, 더 낮은 루트 리프래스터레이션 또는 더 나은 브랜치 행동 덕분에 실질적으로 더 잘 작동하는가?
• RQ3 온난 시작이 어려운 인스턴스에서 브랜치 앤 컷 알고리즘의 성능과 안정성에 얼마나 기여하는가?
• RQ4 기존 방법으로는 해결할 수 없는 더 큰, 더 어려운 인스턴스에서 새로운 설정은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 클리크 부등식 분리 전략은 전체 해법 품질과 시간에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• cut 설정이 정의하는 다각체와 Böckler 등(2020a)의 최신 기법이 정의하는 다각체는 수학적으로 동일하다.
• cec 설정이 정의하는 다각체는 cut보다 엄밀히 더 약한 다각체를 정의하므로, cut이 이론적으로 더 강하다.
• cec 설정은 시간 제한 내에 1,065개의 벤치마크 인스턴스 중 1,064개를 최적해로 해결했으며, 이는 모든 다른 설정보다 뛰어난 성능을 보였다.
• cec의 중앙값 해법 시간은 최신 기법보다 유의미하게 낮아, 실질적인 성능 향상을 입증했다.
• 온난 시작은 최적성 갭의 변동성을 줄였고, 특히 cut 설정의 경우 박스플롯을 통해 상대 갭이 더 안정적인 성능을 보였다.
• 새로운 23개의 어려운 인스턴스 세트에서, cec에 온난 시작을 적용한 결과가 목표값, 상한, 갭 측면에서 가장 우수했으며, 23개 인스턴스 중 15개에서 최적성 갭이 향상되었다.