[논문 리뷰] New foundations of reasoning via real-valued first-order logics

Guillermo Badía, Ronald Fagin외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 30.

Advanced Algebra and Logic인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 값을 갖는 다차원 문장(MD-문장)을 사용하여 일阶 논리 및 모odal 논리의 새로운 프레임워크를 제안한다. 기존의 명제 논리 작업을 부분 진리값과 복합 진리값 조합을 다룰 수 있도록 확장한다. 고정 도메인과 변동 도메인에 대해 타당하고 완전한 공리 체계를 제공하며, 유한 다가치 버전에 대해 0-1 법칙을 포함한다. 비록 일반적인 설정에서 타당성 검증이 비재귀적일지라도, 유한 도메인에 국한된 경우에도 완전성이 유지됨을 입증한다.

ABSTRACT

Many-valued logics in general, and fuzzy logics in particular, usually focus on a notion of consequence based on preservation of full truth, typical represented by the value 1 in the semantics given the real unit interval [0,1]. In a recent paper (\emph{Foundations of Reasoning with Uncertainty via Real-valued Logics}, arXiv:2008.02429v2, 2021), Ronald Fagin, Ryan Riegel, and Alexander Gray have introduced a new paradigm that allows to deal with inferences in propositional real-valued logics based on multi-dimensional sentences that allow to prescribe any truth-values, not just 1, for the premises and conclusion of a given entailment. In this paper, we extend their work to the first-order (as well as modal) logic of multi-dimensional sentences. We give axiomatic systems and prove corresponding completeness theorems, first assuming that the structures are defined over a fixed domain, and later for the logics of varying domains. As a by-product, we also obtain a 0-1 law for finitely-valued versions of these logics.

연구 동기 및 목표

• 실수값 논리에서 다차원 문장의 명제 프레임워크를 일阶 및 모달 설정으로 확장한다.
• 기존의 다가치 논리가 항상 참(값 1)에만 집중하고 부분 진리값 조합을 간과하는 한계를 해결한다.
• 일阶 실수값 논리에서 타당한 추론을 다루는 통일적이고 매개변수화된 공리 체계를 제공한다. 이는 재귀적으로 열거 가능한 것이 아닌 경우에도 해당된다.
• 고정 도메인과 변동 도메인에 대해 완전성 정리를 증명하고, 유한 다가치 변형에 대해 0-1 법칙을 수립한다.
• 일반적인 경우에서의 결정 불가능성에도 불구하고, 유한 도메인으로 국한되었을 때 시스템이 유한적이고 완전함을 입증한다.

제안 방법

• 다차원 문장(MD-문장)의 문법을 일阶 및 모달 논리로 확장한다. 각 MD-문장은 ⟨σ₁,…,σₖ; S⟩ 형식이며, S ⊆ [0,1]ᵏ은 허용되는 진리값 조합을 나타낸다.
• 세마antics를 정의하여, MD-문장이 구성 공식들의 진리값 튜플이 집합 S에 속할 경우에만 모델에서 참이 되도록 한다.
• MD-문장 간 논리적 함의를 포괄하는 유한 공리 체계를 개발한다. 이는 진리값 집합을 다루는 일반화된 규칙 (7)*을 포함한다.
• 명제 사례와 유사한 전략을 사용하여 고정 도메인에서 완전성을 증명한다. 이는 최대 일致 집합과 모델 구성에 의존한다.
• 도메인 크기 제약을 제거하여 변동 도메인에 적응시키고, 모든 도메인에서의 완전성을 증명한다.
• Oberschelp의 결과와 고전 일阶 논리에서의 유한 타당성으로의 환원을 적용하여, 규칙 (7)*에서 S′ = ∅의 만족 가능성은 결정 불가능하다는 것을 입증한다. 이는 비재귀성의 원인을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 실수값 논리에 대해 부분 진리값(1 이외의 값)까지 포함하는 통일적이고 매개변수화된 공리 체계를 개발할 수 있는가?
• RQ2 다차원 문장을 일阶 및 모달 논리로 확장하면서도 타당성과 완전성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 이 시스템이 유한 도메인에서 어떻게 행동하는가? 비록 결정 불가능성이 존재하더라도 완전성은 유지될 수 있는가?
• RQ4 이러한 일阶 다차원 논리의 유한 다가치 변형에 대해 0-1 법칙이 성립하는가?
• RQ5 변동 도메인을 다룰 수 있도록 시스템을 적응시킬 수 있으며, 이때 완전성과 유한 추론을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 고정 도메인에서 다차원 문장을 사용한 일阶 실수값 논리에 대해 타당하고 완전한 공리 체계가 확립되었으며, 이는 명제 완전성 결과를 일반화한다.
• 규칙 (7)*에서 진리값 집합 S′이 공집합인지 확인하는 것이 결정 불가능하기 때문에, 이 시스템은 재귀적으로 열거 가능하지 않다. 이는 고전 일阶 논리에서의 유한 타당성으로의 환원을 통해 입증된다.
• 유한 다가치 버전의 논리에 대해 0-1 법칙이 증명되었으며, 이는 점점 더 많은 문장들이 거의 확실히 참이거나 거의 확실히 거짓이 된다는 것을 의미한다.
• 임의의 도메인(변동 도메인 의미론)에 대해 논리의 완전성이 또한 확립되었으며, 고정 크기 모델을 넘어서 프레임워크를 확장한다.
• 유한 도메인으로 제한되었을 때, 시스템은 유한적이며 완전해지며, Γ ⊢ θ if and only if Γ ⊨ finite θ 를 만족한다. 이는 일반적인 경우의 비재귀성에도 불구하고 성립한다.
• 이 프레임워크는 유리수 파벨카 논리 및 진리상수를 갖는 기타 퍼지 논리를 포함하고 일반화하며, [0,1]ᵏ의 임의의 부분집합 S를 정보 집합으로 허용함으로써 더 높은 표현력을 제공한다.