[논문 리뷰] New Generalized Fixed Point Results on $S_{b}$-Metric Spaces

Ni̇hal Taş, Nihal Yılmaz Özgür|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 06.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $S_b$-metric 공간으로 바나흐 수축 원리를 일반화하며, 두 매개변수 $α_1$ 및 $α_2$를 포함하는 수축 조건을 갖는 완비 $S_b$-metric 공간에 대한 새로운 고정점 정리가 제안된다. 주요 기여는 고전적 정리를 확장하는 일반화된 고정점 결과이며, $τ\sum|a_{ij}| < h < 1$ 조건을 만족하는 합계 노름 하에서 선형 방정식계의 해의 존재성과 유일성을 증명하는 데 응용된다. 이는 원래 바나흐 원리보다 엄밀히 일반화된 결과임을 보여주는 반례를 통해 확인된다.

ABSTRACT

Recently $S_{b}$-metric spaces have been introduced as the generalizations of metric and $S$-metric spaces. In this paper we investigate some basic properties of this new space. We generalize the classical Banach's contraction principle using the theory of a complete $S_{b}$-metric space. Also we give an application to linear equation systems using the $S_{b}$-metric which is generated by a metric.

연구 동기 및 목표

• 메트릭 공간과 $S$-메트릭 공간을 모두 일반화하는 $S_b$-메트릭 공간의 맥락에서 바나흐 수축 원리를 일반화하는 것.
• 두 매개변수 $\alpha_1$ 및 $\alpha_2$를 포함하는 일반화된 수축 조건을 만족하는 자가매핑에 대해 완비 $S_b$-메트릭 공간에서의 새로운 고정점 정리를 수립하는 것.
• 실수 $\mathbb{R}^n$ 위의 $\ell^1$-노름으로부터 $S_b$-메트릭을 구성함으로써, 선형 방정식계에 대한 새로운 고정점 결과의 적용 가능성을 보여주는 것.
• 새로운 정리가 고전적 바나흐 수축 원리를 엄밀히 일반화함을 보여주기 위해, 새로운 조건은 만족하지만 고전적 조건은 만족하지 않는 반례를 제공하는 것.

제안 방법

• $S_b$-메트릭 공간을 함수 $S_b: X \times X \times X \to [0,\infty)$ 를 사용해 정의하며, $S_b(x,y,z) = 0$ 이면 $x = y = z$ 이고, 모든 $x,y,z,a \in X$ 및 $b \geq 1$ 에 대해 $b$-유형 삼각부등식인 $S_b(x,y,z) \leq b[S_b(x,x,a) + S_b(y,y,a) + S_b(z,z,a)]$ 를 만족하는 조건을 갖는다.
• 일반화된 수축 조건을 도입한다: $S_b(Tx,Tx,Ty) \leq \alpha_1 S_b(x,x,y) + \alpha_2 \max\{ S_b(Tx,Tx,x), S_b(Tx,Tx,y), S_b(Ty,Ty,y), S_b(Ty,Ty,x) \}$ 이며, $\alpha_1 + b\alpha_2 < 1$ 이다.
• 일반화된 수축 조건 하에서 완비 $S_b$-메트릭 공간 위의 자가매핑 $T$ 에 대해 고정점의 존재성과 유일성을 코시 수열의 논증과 완비성에 기반하여 증명한다.
• $\mathbb{R}^n$ 위에 $\ell^1$-노름으로부터 유도된 $S_b$-메트릭 $S_1(x,y,z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| + \sum_{i=1}^n |y_i - z_i|$ 를 구성한다.
• 선형 시스템 $Ax + b = x$ 에 고정점 정리를 적용하기 위해, 매핑 $T(x) = Ax + b$ 가 $\max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}| < h < 1$ 를 만족할 경우 일반화된 수축 조건을 만족함을 보여, 유일한 해가 존재함을 보장한다.
• 새로운 조건은 만족하지만 고전적 바나흐 조건은 만족하지 않는 반례를 제공하여, 일반화가 엄밀히 더 넓다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭 공간과 $S$-메트릭 공간을 모두 일반화하는 $S_b$-메트릭 공간으로 바나흐 수축 원리를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $S_b$-메트릭 공간에서 고정점의 존재성과 유일성을 보장하는 일반화된 수축 조건의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 새로운 고정점 정리는 고전적 바나흐 수축 원리를 엄밀히 일반화하는가? 만약 그렇다면, 이를 반례를 통해 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 고정점 정리는 $\mathbb{R}^n$ 내 선형 방정식계의 해의 존재성과 유일성을 증명하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ5 $S_b$-메트릭 구조와 $\ell^1$-노름 사이의 관계는 무엇이며, 이는 선형 시스템에 대한 적용을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 논문은 $\alpha_1 + b\alpha_2 < 1$ 조건을 만족하는 매개변수 $\alpha_1$ 및 $\alpha_2$ 를 포함하는 일반화된 수축 조건 하에서 완비 $S_b$-메트릭 공간에 대해 새로운 고정점 정리를 수립하며, 고정점의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 새로운 정리는 고전적 바나흐 수축 원리를 일반화한다: $\alpha_2 = 0$ 이고 $\alpha_1 < 1/b^2$ 일 경우 조건은 바나흐 수축 조건으로 줄어들지만, 새로운 조건은 고전적 조건보다 엄밀히 더 약하다.
• 반례를 제공하여, 일반화된 조건은 만족하지만 고전적 바나흐 조건은 만족하지 않는 경우를 보여, 일반화가 엄밀히 더 넓다는 것을 입증한다 (예: $\alpha_1 = 0$, $\alpha_2 = 1/5$).
• 고정점 정리는 $\mathbb{R}^n$ 상의 선형 시스템 $Ax + b = x$ 에 적용되며, $\max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}| < h < 1$ 이면 유일한 해가 존재함을 보여준다.
• $S_b$-메트릭 $S_1(x,y,z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| + \sum_{i=1}^n |y_i - z_i|$ 는 $\ell^1$-노름으로부터 유도되며, 매핑 $T(x) = Ax + b$ 는 주어진 행렬 노름 조건 하에서 일반화된 수축 조건을 만족한다.
• 증명은 $S_1(Tx,Tx,Ty) \leq h \cdot S_1(x,x,y)$ for $h < 1$ 이라는 것을 보여, 이는 수축 조건을 확인함으로써 고정점의 존재성을 보장하며, 즉 선형 시스템의 유일한 해가 존재함을 의미한다.