[논문 리뷰] New inequalities involving the Geometric-Arithmetic index

José M. Rodrı́guez, Juan A. Rodríguez‐Velázquez외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 13.

Graph theory and applications참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 화학에서 양적 구조-활성도 및 구조-성질 관계에 사용되는 위상적 지표인 기하-산술 지표 $GA_1$와 관련된 새로운 부등식을 수립한다. 코시-슈바르츠 부등식을 적용하고 차수 기반 그래프 불변량을 분석함으로써, 수정된 나루미-카타야마 지표와 거듭제곱 합수에 대해 $GA_1$의 더 날카운 경계를 유도하며, 등호가 성립하는 것은 정규 그래프일 때에만임을 증명한다.

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a simple connected graph and $d_i$ be the degree of its $i$th vertex. In a recent paper [J. Math. Chem. 46 (2009) 1369-1376] the first geometric-arithmetic index of a graph $G$ was defined as $$GA_1=\sum_{ij\in E}\frac{2 \sqrt{d_i d_j}}{d_i + d_j}.$$ This graph invariant is useful for chemical proposes. The main use of $GA_1$ is for designing so-called quantitative structure-activity relations and quantitative structure-property relations. In this paper we obtain new inequalities involving the geometric-arithmetic index $GA_1$ and characterize the graphs which make the inequalities tight. In particular, we improve some known results, generalize other, and we relate $GA_1$ to other well-known topological indices.

연구 동기 및 목표

• 기하-산술 지표 $GA_1$와 관련된 새로운이고 더 날카운 부등식을 수립하기 위해.
• 기타 위상적 지표에 대해 이전에 알려진 $GA_1$의 경계를 일반화하고 개선하기 위해.
• 이러한 부등식이 등호로 성립하는 그래프, 특히 정규 그래프를 특성화하기 위해.
• $GA_1$가 수정된 나루미-카타야마 지표와 거듭제곱 합수 기반 지표 $R_\alpha(G)$와 어떻게 관련되어 있는지 밝히기 위해.
• 이론적 경계를 정교화함으로써 $GA_1$의 예측 능력을 양적 구조-성질 관계(QSPR)에서 향상시키기 위해.

제안 방법

• GA_1를 거듭제곱 합수 $R_\alpha(G)$와 $R_{-\alpha}(G)$의 곱으로 분해하기 위해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하기.
• 레마 2.6을 사용하여 정점 차수의 극한값인 $\delta$와 $\Delta$에 기반한 비율 $\frac{2\sqrt{d_ud_v}}{d_u + d_v}$를 경계하기.
• 핵심 구조적 매개변수로 수정된 나루미-카타야마 지표 $NK^*(G) = \prod_{u \in V(G)} d_u^{d_u}$를 도입하기.
• 산산술-기하 평균 부등식을 통해 $R_\alpha(G)$와 $NK^*(G)^{\alpha/m}$에 대한 $GA_1$의 경계를 도출하기.
• 차수의 균일성을 분석하여 등호 조건을 특성화하기.
• $\alpha = 1$에서의 기존 경계를 임의의 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$로 일반화하며, $\alpha \leq -1/2$ 및 $\alpha \geq -1/2$의 별도 경우를 다루기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거듭제곱 평균과 코시-슈바르츠 기법을 사용하여 기하-산술 지표 $GA_1$에 대해 새로운 부등식을 유도할 수 있는가?
• RQ2 $GA_1$의 경계는 최소 및 최대 정점 차수 $\delta$와 $\Delta$에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 $GA_1$의 유도된 부등식에서 등호가 성립하는 그래프 조건은 무엇인가?
• RQ4 $GA_1$는 수정된 나루미-카타야마 지표 $NK^*(G)$와 거듭제곱 합수 $R_\alpha(G)$와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 통일된 매개변수 $\alpha$를 사용하여 기존의 $GA_1$ 경계를 일반화하고 개선할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$에 대해 부등식 $GA_1(G) \leq \sqrt{R_\alpha(G) R_{-\alpha}(G)}$를 유도하며, 등호가 성립하는 것은 $G$가 정규 그래프일 때에만이다.
• $\alpha \geq 1$인 경우, 하한 $GA_1(G) \geq \frac{2\Delta^{\alpha-1/2}\delta^{\alpha+1/2}}{\Delta^{2\alpha} + \delta^{2\alpha}} \sqrt{R_\alpha(G) R_{-\alpha}(G)}$가 확립되며, 등호는 정규 그래프일 때에만 성립한다.
• $0 < \alpha \leq 1$인 경우에도 유사한 하한이 도출되며, 등호는 $G$가 정규 그래프일 때에만 성립한다.
• 모든 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$에 대해 부등식 $R_\alpha(G) \geq m \cdot NK^*(G)^{\alpha/m}$가 성립하며, 등호는 모든 간선-차수 곱 $d_u d_v$가 동일할 때에만 성립한다.
• 코로나리 2.14는 $\delta$와 $\Delta$를 포함시킴으로써 기존의 $GA_1(G)$ 하한을 개선하였으며, 등호는 $G$가 정규 그래프일 때에만 성립한다.
• 유도된 경계는 기존의 결과들, 예를 들어 [29, 정리 4]를 일반화하고 날카럽게 개선하였으며, 매개변수 $\alpha$를 도입하고 $\delta$ 및 $\Delta$에 대한 의존성을 정교화하였다.