[논문 리뷰] New large graphs with given degree and diameter

Francesc Comellas, J. Gómez|ArXiv.org|1994. 11. 03.

Interconnection Networks and Systems참고 문헌 10인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 주어진 최대 차수 Δ과 지름 D를 갖는 큰 무방향 그래프의 새로운 구성법을 제시한다. 특히 지름 6에 초점을 맞추고 있다. 이는 이분 모어 그래프(특히 일반화된 육각형 Hq)의 정점에 대해 정점 치환 기법을 일반화함으로써 달성된다(즉, 정점에 완전 그래프 K_h를 치환함). 이로 인해 그래프의 순서가 크게 향상되어, Δ = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 및 D = 6인 경우 기존에 알려진 (∆, D) 그래프 중 가장 큰 그래프를 확보하게 되었다.

ABSTRACT

In this paper we give graphs with the largest known order for a given degree $Δ$ and diameter $D$. The graphs are constructed from Moore bipartite graphs by replacement of some vertices by adequate structures. The paper also contains the latest version of the $(Δ, D)$ table for graphs.

연구 동기 및 목표

• 주어진 차수 Δ과 지름 D에 대해 이전에 알려진 그래프보다 더 큰 그래프를 구성하는 것, 특히 D=6인 경우에 중점을 두고.
• 기존의 이분 모어 그래프를 정점 치환을 통해 수정함으로써 모어 경계 근사치를 향상시키는 것.
• 다중 정점을 완전 그래프로 치환하는 복합 그래프 기법을 확장하여 지름이 유한하게 유지되도록 보장하는 것.
• D ≤ 8 및 Δ ≤ 14인 경우 기존의 가장 큰 (∆, D)-그래프에 대한 업데이트된 종합 표를 제공하는 것.
• 지름을 유지하거나 향상시키면서 그래프 순서를 증가시키는 일반적인 정점 치환 규칙을 제시하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 퀴스콰터의 정점 치환 기법을 일반화하여 일반화된 육각형 그래프 Hq의 다수의 정점을 완전 그래프 K_h로 치환하는 것이다.
• Hq의 정점들은 K_h의 복제본(K_h, h < Δ)으로 치환되며, 지름을 유지하거나 최소화하기 위해 새로운 간선이 추가된다.
• 이 구성은 결과 그래프의 모든 정점 쌍이 여전히 거리 D=6 이내에 있도록 보장한다.
• 이 기법은 H3, H4, H5에 적용되며, 각각 6개의 정점을 K3로, 6개의 정점을 K4로 치환하여 H3(K3), H4(K4), H5(K4)를 구성한다.
• 복합 기법을 사용하여 H4(K4) 및 H5 그래프를 추가로 향상시켜 더 큰 (7,6) 그래프를 도출한다.
• 이 방법은 일반화된 육각형의 구조적 성질과 거리 분포를 활용하여 지름 제약 조건을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 모어 이분 그래프를 수정함으로써 지름 D=6인 (∆, D)-그래프의 순서를 크게 증가시킬 수 있는가?
• RQ2 차수 Δ과 지름 D=6을 갖는 그래프에서 얻을 수 있는 정점 수의 최대치는 얼마이며, 이는 모어 경계와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 지름을 유지하면서 그래프 순서를 증가시키는 일반화된 정점 치환 규칙을 개발할 수 있는가?
• RQ4 결과로 도출된 그래프는 카일리 그래프, 색인 링크, 복합 그래프와 같은 기존 구성법과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ5 지름을 증가시키지 않고 순서를 최대화하기 위해 정점 치환에 사용할 완전 그래프 K_h의 최적의 수와 구성은 무엇인가?

주요 결과

• 저자들은 Δ=4인 경우 지름 6인 H3(K3)를 구성하여 740개의 정점을 확보하며, 새로운 기록을 수립하였다.
• Δ=5인 경우 H4(K4)를 2,754개의 정점과 지름 6으로 구성하여 새로운 기준을 설정하였다.
• Δ=6인 경우 H5(K4)를 7,860개의 정점과 지름 6으로 구성하여, 현재까지 알려진 가장 큰 (∆, D)-그래프로 기록되었다.
• H4(K4)와 H5를 복합 기법을 통해 조합하여 (7,6) 그래프를 10,566개의 정점으로 확보하였다.
• 이 새로운 구성법은 D=6 및 Δ ≥ 4인 경우 이전의 (∆, D) 표 기록을 크게 초월하였다.
• 업데이트된 표에는 Δ가 3에서 14까지, D가 2에서 8까지의 가장 큰 알려진 그래프가 포함되어 있으며, 새로운 항목은 볼드체로 표시되어 있다.