[논문 리뷰] New Limits for Knowledge Compilation and Applications to Exact Model Counting

Paul Beame, Vincent Liew|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 08.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 19인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 자연스러운 문제 클래스에 대해 Sentential Decision Diagrams (SDDs)와 DNNFs의 크기에 대한 새로운 지수적 하한을 확립하며, SDDs가 합집합 연산자 쿼리(UCQs)에 대해 OBDDs보다 더 간결하지 않으며, 특정 2-DNF 공식에 대해서는 FBDDs보다 지수적으로 덜 간결할 수 있음을 보여준다. 또한 SDD 크기와 최적 분할 통신 복잡도 사이의 새로운 연결 고리를 제안하여, 집합 불일치 문제로의 감소를 통해 강력한 하한을 도출한다.

ABSTRACT

We show new limits on the efficiency of using current techniques to make exact probabilistic inference for large classes of natural problems. In particular we show new lower bounds on knowledge compilation to SDD and DNNF forms. We give strong lower bounds on the complexity of SDD representations by relating SDD size to best-partition communication complexity. We use this relationship to prove exponential lower bounds on the SDD size for representing a large class of problems that occur naturally as queries over probabilistic databases. A consequence is that for representing unions of conjunctive queries, SDDs are not qualitatively more concise than OBDDs. We also derive simple examples for which SDDs must be exponentially less concise than FBDDs. Finally, we derive exponential lower bounds on the sizes of DNNF representations using a new quasipolynomial simulation of DNNFs by nondeterministic FBDDs.

연구 동기 및 목표

• 지식 컴파일을 위한 SDDs와 DNNFs의 간결성에 대한 기본적인 한계를 규명하는 것.
• SDDs가 자연스러운 쿼리 클래스를 표현할 때 OBDDs와 FBDDs보다 유의미한 이점을 제공하는지 여부에 대한 열린 질문을 해결하는 것.
• SDD 크기와 최적 분할 통신 복잡도 사이의 새로운 특성화를 개발하는 것.
• 통신 복잡도 기법을 사용하여 SDDs와 DNNFs에 대한 지수적 하한을 도출하는 것.
• SDDs가 합집합 연산자 쿼리(UCQs)에 대해 OBDDs보다 질적으로 향상된 성능을 제공하지 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• SDD 크기와 최적 분할 통신 복잡도 사이의 연결 고리를 설정하여, SDD 크기가 균형 잡힌 변수 분할의 통신 복잡도에 의해 제한됨을 보여준다.
• 불일치 문제로의 감소를 통해 자연스러운 쿼리 클래스에 대한 SDD 크기에 대한 지수적 하한을 유도한다.
• OR-FBDDs에 의한 일반 DNNFs의 준다각형 시뮬레이션을 구성하여, OR-FBDD 하한에서 DNNF 하한을 도출할 수 있도록 한다.
• PERMₙ와 ROW-COLₙ와 같은 함수에 대해 알려진 OR-FBDD 하한을 활용하여, 이에 해당하는 DNNF 하한을 유도한다.
• Yannakakis의 비모호 프rotocol에 대한 결정론적 시뮬레이션을 활용하여, 중간 비모호 프로토콜을 통해 SDDs와 통신 복잡도를 연결한다.
• SDD의 vtree 구조를 활용하여 두 플레이어 간 거의 균형 잡힌 변수 분할을 정의하고, 통신량을 log²S 비트로 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDDs는 합집합 연산자 쿼리(UCQs)를 OBDDs보다 더 간결하게 표현할 수 있는가?
• RQ2 SDDs가 FBDDs보다 지수적으로 덜 간결한 자연스러운 2-DNF 공식 클래스가 존재하는가?
• RQ3 SDDs에 대한 일반적인 준다각형 시뮬레이션은 OBDDs에 의해 가능할까? 이는 기존의 결정 DNNFs에 대한 FBDDs에 의한 준다각형 시뮬레이션과 일치하는가?
• RQ4 함수의 최적 분할 통신 복잡도를 사용하여 그 함수를 표현하기 위해 필요한 최소 SDD 크기를 특성화할 수 있는가?
• RQ5 SDDs는 구조화된 지식 컴파일을 위한 결정 DNNFs에 비해 간결성 측면에서 질적으로 우월한 이점이 있는가?

주요 결과

• 합집합 연산자 쿼리(UCQs)에 대해 SDD 크기는 선형이면 OBDD 크기도 선형이며, 그렇지 않으면 지수적이다. 즉, 이 클래스에 대해 SDDs는 OBDDs보다 질적으로 향상된 성능을 제공하지 않는다.
• FBDD 크기가 다항식이지만 SDD 크기가 지수적인 2-DNF 공식이 존재하며, 이는 SDDs가 FBDDs보다 지수적으로 덜 간결할 수 있음을 보여준다.
• 논문은 OR-FBDDs에 의한 DNNFs의 준다각형 시뮬레이션을 통해 DNNF 표현에 대한 지수적 하한을 확립하였으며, 이는 PERMₙ와 ROW-COLₙ에 대한 알려진 OR-FBDD 하한에서 유도된다.
• 함수 f를 표현하기 위해 필요한 SDD 크기는 2^√C 이하로 제한되며, 여기서 C는 f의 최적 분할 통신 복잡도이다. 이는 SDD와 OBDD 크기 사이에 준다각형 간격이 있음을 보여준다.
• 통신 복잡도를 통한 특성화는 SDDs가 높은 최적 분할 통신 복잡도를 요구하는 함수를 효율적으로 표현할 수 없다는 것을 암시한다.
• 결과적으로 SDDs가 UCQs에 대해 OBDDs보다 더 간결하지 않으며, 특정 2-DNF 공식에 대해 FBDDs보다 지수적으로 덜 간결하다는 것이 입증되었으며, 이는 그 상대적인 간결성에 대한 핵심 열린 질문을 해결한다.