[논문 리뷰] New lower bounds for matrix multiplication and the 3x3 determinant

Austin Conner, Alicia Harper외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 18.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 행렬 곱셈 텐서와 3×3 행렬식 텐서의 경계 랭크에 대한 새로운 하한을 제시한다. 이는 새로운 대수기하 기법인 경계 아폴로지티크((border apolarity))를 사용하여 이룩한 것이다. 대칭성과 대칭군의 최대 해소 가능 부분군 아래에서 다중 등급 아이디얼을 분석함으로써, 저자들은 $ M_{\langle 223\rangle} $ 및 $ M_{\langle 233\rangle} $의 정확한 경계 랭크를 증명하였고, $ M_{\langle 3\rangle} $, $ \det_3 $, 그리고 무한한 가지만 $ M_{\langle 2nn\rangle} $ 및 $ M_{\langle 3nn\rangle} $의 하한을 크게 향상시켰다.

ABSTRACT

Let $M_{\langle u,v,w angle}\in C^{uv}\otimes C^{vw}\otimes C^{wu}$ denote the matrix multiplication tensor (and write $M_n=M_{\langle n,n,n angle}$) and let $det_3\in ( C^9)^{\otimes 3}$ denote the determinant polynomial considered as a tensor. For a tensor $T$, let $\underline R(T)$ denote its border rank. We (i) give the first hand-checkable algebraic proof that $\underline R(M_2)=7$,(ii) prove $\underline R(M_{\langle 223 angle})=10$, and $\underline R(M_{\langle 233 angle})=14$, where previously the only nontrivial matrix multiplication tensor whose border rank had been determined was $M_2$,(iii) prove $\underline R( M_3)\geq 17$, (iv) prove $\underline R( det_3)=17$, improving the previous lower bound of $12$, (v) prove $\underline R(M_{\langle 2nn angle})\geq n^2+1.32n$ for all $n\geq 25$ (previously only $\underline R(M_{\langle 2nn angle})\geq n^2+1$ was known) as well as lower bounds for $4\leq n\leq 25$, and (vi) prove $\underline R(M_{\langle 3nn angle})\geq n^2+2 n+1$ for all $ n\geq 21$, where previously only $\underline R(M_{\langle 3nn angle})\geq n^2+2$ was known, as well as lower boundsfor $4\leq n\leq 21$. Our results utilize a new technique initiated by Buczyńska and Buczyński, called border apolarity. The two key ingredients are: (i) the use of a multi-graded ideal associated to a border rank $r$ decomposition of any tensor, and (ii) the exploitation of the large symmetry group of $T$ to restrict to $B_T$-invariant ideals, where $B_T$ is a maximal solvable subgroup of the symmetry group of $T$.

연구 동기 및 목표

• 행렬 곱셈 텐서와 3×3 행렬식 텐서의 경계 랭크에 대한 정확한 하한과 향상된 하한을 확립하기 위해.
• 대칭 텐서에 특화된 새로운 대수기하 기법인 경계 아폴로지티크를 개발하고 적용하기 위해.
• 이전 기법들인 코즐 유비타이징과 경계 대입 방법의 한계를 극복하여 경계 랭크 하한을 증명하기 위해.
• 대칭 텐서의 경계 랭크 $ r $ 분해가 존재하는지 여부를 결정하기 위한 체계적인 알고리즘을 제공하기 위해.
• 기존의 열려 있던 사례를 해결하고 무한한 행렬 곱셈 텐서 가지만에 대한 渐近 하한을 향상시키기 위해 이 기법의 강력함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 고전적 아폴로지티크와 경계 대입 방법을 융합한 경계 아폴로지티크 기법을 도입하여 대칭 텐서의 경계 랭크 분해를 분석한다.
• 임의의 잠재적 경계 랭크 $ r $ 분해에 대해 다중 등급 아이디얼을 부여하고, 대수기하학을 활용해 존재 여부를 테스트한다.
• 텐서 $ T $ 의 큰 대칭군을 활용하여, $ T $ 의 대칭군의 최대 해소 가능 부분군인 $ \mathbb{B}_T $-불변 아이디얼에 국한한다.
• 무게 공간 분해와 표현 이론을 사용하여, 텐서 곱과 기약 표현 간의 교차 부분공간의 차원에 대한 상한을 계산한다.
• 정규형으로 표현된 모든 가능한 후보 분해를 시스템적으로 평가하여, 그러한 분해가 존재하지 않음을 증명하거나 모든 가능성을 나열한다.
• 기존의 경계 랭크 하한에 대한 장벽을 우회하도록 설계되었으며, 특히 코즐 유비타이징과 기타 이전 기법의 활용 한계를 극복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존에 해결되지 않은 행렬 곱셈 복잡도 이론에서의 $ M_{\langle 223\rangle} $ 의 정확한 경계 랭크는 얼마인가?
• RQ2 경계 아폴로지티크 방법을 사용하여 대칭군이 큰 대칭 텐서에 대해 경계 랭크 $ r $ 분해가 존재하는지 여부를 계산하거나 배제할 수 있는가?
• RQ3 $ M_{\langle 3\rangle} $, $ \det_3 $, 그리고 무한한 가지만 $ M_{\langle 2nn\rangle} $ 및 $ M_{\langle 3nn\rangle} $ 에 대해 향상된 하한은 무엇인가?
• RQ4 경계 아폴로지티크 방법은 기존 기법들인 코즐 유비타이징과 경계 대입 방법에 비해 얼마나 강력한가?
• RQ5 이 방법은 기존에 알려진 $ M_{\langle 2\rangle} $ 경우를 초월하여 행렬 곱셈 텐서에 대해 비자명한 하한을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 2\rangle}) = 7 $ 를 수동 검증 가능한 대수적 증명으로 제시하여 오랫동안 알려진 결과를 새로운 방법으로 확인하였다.
• 이 논문은 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 223\rangle}) = 10 $ 과 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 233\rangle}) = 14 $ 를 증명하여 두 개의 새로운 정확한 경계 랭크 사례를 해결하였다.
• $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 3\rangle}) \geq 17 $ 을 확립하여 이전 하한보다 크게 향상시켰다.
• $ \underline{\mathbf{R}}(\det_3) = 17 $ 을 증명하여 이전 하한 12를 초월하였다.
• $ M_{\langle 2nn\rangle} $ 에 대해 $ n \geq 25 $ 인 모든 $ n $ 에 대해 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 2nn\rangle}) \geq n^2 + 1.32n $ 을 증명하였고, 이는 이전 하한 $ n^2 + 1 $ 보다 향상된 것이다.
• $ M_{\langle 3nn\rangle} $ 에 대해 $ n \geq 21 $ 인 모든 $ n $ 에 대해 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 3nn\rangle}) \geq n^2 + 2n $ 을 증명하였고, 이는 이전 하한 $ n^2 + 2 $ 보다 향상된 것이다.