[논문 리뷰] New lower bounds for the maximal determinant problem

William P. Orrick, Bruce Solomon외 2명|ArXiv.org|2003. 04. 25.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수치 최적화와 새로운 회의 행렬 구성법을 사용하여 entries가 $\pm 1$인 $n \times n$ 행렬의 최대 행렬식에 대한 새로운 하한을 제시한다. $n = 22, 23, 27, \dots, 95$에 대해 기록적인 행렬식을 확립하였으며, 여러 경우에서 이론적 상한의 80% 이상을 달성하였고, $n=22$의 최적성에 대해 추측을 제기한다. 결과는 www.indiana.edu/~maxdet 에 암호화되어 있다.

ABSTRACT

We report new world records for the maximal determinant of an n-by-n matrix with entries +/-1. Using various techniques, we beat existing records for n=22, 23, 27, 29, 31, 33, 34, 35, 39, 45, 47, 53, 63, 69, 73, 77, 79, 93, and 95, and we present the record-breaking matrices here. We conjecture that our n=22 value attains the globally maximizing determinant in its dimension. We also tabulate new records for n=67, 75, 83, 87, 91 and 99, dimensions for which no previous claims have been made. The relevant matrices in all these dimensions, along with other pertinent information, are posted at http://www.indiana.edu/~maxdet \.

연구 동기 및 목표

• 입력값이 $\pm 1$인 $n \times n$ 행렬의 최대 행렬식에 대한 향상된 하한을 확립하기 위해.
• 특히 $n \not\equiv 0 \pmod{4}$ 인 경우에 정확한 $\mathrm{md}(n)$ 값을 결정하는 오랫동안 미해결된 문제를 다루기 위해.
• 이전에 발표된 기록을 초월하는 여러 차원에서 새로운 구성법과 수치적 탐색을 제시하기 위해.
• 지속적인 연구를 위해 www.indiana.edu/~maxdet 에서 기록 경신 행렬과 그들의 행렬식을 포괄적으로 암호화하기 위해.

제안 방법

• 행렬식 값을 반복적으로 향상시키기 위해 이산 기울기 상승과 시뮬레이티드 어닐링을 결합한 오르막 탐색 알고리즘을 사용하기 위해.
• 행 단위 최적화 중에 행렬식 추정치를 효율적으로 갱신하기 위해 여인수 전개를 사용하기 위해.
• $n \equiv 15 \pmod{16}$ 인 경우에 대해 회의 행렬 기반의 구성법을 도입하여, $n = 47, 63, 79, 95$ 등을 포함한 여러 경우에서 고행렬식 행렬을 생성하기 위해.
• 국소 최적해에서 벗어나기 위해 국소 최적해를 무작위로 변형하여 검색 공간의 새로운 영역을 탐색하기 위해.
• 하다르드 행렬과 이전 문헌에서 유래한 고품질의 초기 행렬에서 탐색을 시작하기 위해.
• 바르바, 에흐리히, 워이타스로부터 유도된 이론적 상한과의 비교를 통해 결과를 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4로 나누어떨어지지 않는 $n$에 대해 $\mathrm{md}(n)$의 최고 기록 하한은 무엇이며, 특히 정확한 값이 알려져 있지 않은 차원에서 어떻게 되는가?
• RQ2 회의 행렬 기반의 새로운 구성법이 특정 $n \equiv 15 \pmod{16}$ 인 경우에 대해 행렬식 하한을 상당히 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 새로운 행렬들이 바르바, 에흐리히, 워이타스로부터 유도된 이론적 상한에 얼마나 가까이 도달하는가?
• RQ4 논문에서 추측한 $n=22$의 행렬식 기록이 실제로 전역적으로 최적인가?
• RQ5 새로운 행렬들을 사용하여 이전에 알려진 것보다 높은 초과를 가진 하다르드 행렬을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 19차원에서 $\mathrm{md}(n)$에 대한 새로운 하한을 확립하였다: $n = 22, 23, 27, 29, 31, 33, 34, 35, 39, 45, 47, 53, 63, 69, 73, 77, 79, 93, 95$, 이 중 몇몇은 이론적 상한의 80% 이상을 초과한다.
• $n=22$의 경우, $2^{23} \times 5^{11}$의 행렬식이 최적일 것이라 추측되며, 이는 이론적 상한의 95%에 도달한다.
• 회의 행렬 기반의 구성법은 $n \equiv 15 \pmod{16}$ 인 경우에 대해 기록 경신 행렬식을 도출하였으며, $n=47, 63, 79, 95$ 등 포함된다. 특히 $n=95$의 경우 $2^{96} \times 23^{36} \times 27^{11}$의 행렬식을 달성한다.
• $n=73$ 및 $n=77$ 행렬에서 한 행과 한 열을 제거하여 초과가 각각 580과 628인 $72 \times 72$ 및 $76 \times 76$ 하다르드 행렬을 구성하였으며, 이는 이전 기록을 초월한다.
• $n=67, 75, 83, 87, 91, 99$에 대해서도 추가적인 최고 기록 하한이 보고되었으며, 모두 이론적 상한의 70% 이상을 초과한다.
• $n=22$의 행렬식 기록만이 전역적으로 최적일 것이라 추측되며, 저자들은 이 기록이 이론적 상한의 95%에 도달한다고 언급한다.