[논문 리뷰] New methods for bounding the number of points on curves over finite fields

Everett W. Howe, Kristin Lauter|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 28.

Coding theory and cryptography인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 곡선에서 유리점의 최대 개수를 유 bounds하기 위해 네 가지 새로운 수론적 기법을 제안하며, 여러 경우에서 기존의 Nq(g) 상한을 향상시킨다. 아벨 다양체의 이소지니 클래스 분석, 감소된 결과식의 사용, 그리고 함수체 위의 상수 타원곡선에 대해 버치와 스위너튼-다이 추측를 적용함으로써, 점 수와 샤파레비치-타이트 군의 순서에 대한 날카운 상한을 유도하며, N4(7) = 21 및 N8(5) = 29를 증명한다.

ABSTRACT

We provide new upper bounds on N_q(g), the maximum number of rational points on a smooth absolutely irreducible genus-g curve over F_q, for many values of q and g. Among other results, we find that N_4(7) = 21 and N_8(5) = 29, and we show that a genus-12 curve over F_2 having 15 rational points must have characteristic polynomial of Frobenius equal to one of three explicitly given possibilities. We also provide sharp upper bounds for the lengths of the shortest vectors in Hermitian lattices of small rank and determinant over the maximal orders of small imaginary quadratic fields of class number 1. Some of our intermediate results can be interpreted in terms of Mordell-Weil lattices of constant elliptic curves over one-dimensional function fields over finite fields. Using the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for such elliptic curves, we deduce lower bounds on the orders of certain Shafarevich-Tate groups.

연구 동기 및 목표

• Fq 위의 매끄럽고 절대적으로 기약인 종수 g 곡선에서의 유리점의 최대 개수 Nq(g)에 대한 상한 개선.
• 유한체 위의 아벨 다양체의 이소지니 클래스가 곡선의 양자군을 포함하지 않는 경우를 판단하기 위한 새로운 기법 개발.
• 클래스 수 1인 허수 정수환 위의 허미트 래티스에서 최소 길이 비영벡터의 길이에 대한 날카운 상한 설정.
• 함수체 위의 상수 타원곡선에 버치와 스위너튼-다이 추측를 적용하여 샤파레비치-타이트 군의 순서에 대한 하한 유도.
• F2 위의 종수 12 곡선이 15개의 유리점을 가질 경우의 특성 다항식에 대한 명시적 제약 조건 제공.

제안 방법

• 아벨 다양체의 실웨일 다항식을 포함한 추론에서 결과식 대신 감소된 결과식을 사용하는 것 도입.
• 초특이 E에서부터 일반적인 일반적 다양체 A까지의 En × A와 이소지니하는 양자군이 존재하지 않는 결과의 확장.
• 양자군이 A × En과 이소지니할 경우, 곡선에서 타원곡선으로의 사상에 대한 차수 상한을 판별식과 감소된 결과식을 사용하여 개발.
• 클래스 수 1인 허수 정수환의 최대 정수환 위에서 소수 랭크 허미트 래티스의 최소 비영벡터 길이에 대한 날카운 상한을 계산하는 알고리즘 구축.
• 유한체 위의 전체 일반적 이소지니 클래스가 부분체 위에서 정의 가능할 조건의 필요충분 조건 증명.
• 함수체 위의 상수 타원곡선에 대해 버치와 스위너튼-다이 추측를 활용하여 모델-웨일 래티스의 행렬식과 샤파레비치-타이트 군의 순서를 연결.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 (q, g) 쌍들에 대해 새로운 이소지니 클래스 장벽을 통해 기존의 Nq(g) 상한을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 A와 B의 감소된 결과식의 성질을 고려할 때, A × B를 포함하는 이소지니 클래스가 양자군을 포함하지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ3 클래스 수 1인 허수 정수환의 최대 정수환 위에서 소수 랭크 및 행렬식을 가진 허미트 래티스에서 최소 비영벡터의 길이에 대한 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ4 함수체 위의 상수 타원곡선에 대해 버치와 스위너튼-다이 추측를 어떻게 활용하여 샤파레비치-타이트 군의 순서에 대한 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 F2 위의 종수 12 곡선이 15개의 유리점을 가질 경우의 프로베니우스의 특성 다항식은 어떤 것이 가능한가?

주요 결과

• 논문은 N4(7) = 21임을 증명하며, 유한체 위의 점 수 문제에서 이전에 열려 있던 사례를 해결한다.
• N8(5) = 29임을 증명하여 F8 위의 종수 5 곡선에서의 최대 유리점 개수에 대한 새로운 정확한 값을 제공한다.
• F2 위의 종수 12 곡선이 15개의 유리점을 가질 경우, 프로베니우스의 특성 다항식은 명시적으로 주어진 세 가지 가능성 중 하나여야 한다.
• 저자들은 클래스 수 1인 허수 정수환의 최대 정수환 위에서 소수 랭크 및 행렬식을 가진 허미트 래티스의 최소 비영벡터 길이에 대한 날카운 상한을 계산한다.
• 버치와 스위너튼-다이 추측를 바탕으로, 샤파레비치-타이트 군의 순서의 제곱근에 대한 명시적 공식을 도출하며, 이는 이소지니 사상의 도수, 판별식 및 도수에 따라 표현된다.
• 이 작업은 manypoints.org 데이터베이스에 통합되었을 때, 2009년 버전의 반 데르 게어-반 더 플루트 표에서 16퍼센트 이상의 상한을 향상시킨다.