[논문 리뷰] New methods for calculating the degree distance and the Gutman index

Simon Brezovnik, Niko Tratnik|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 07.

Graph theory and applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 엣지 집합에 대한 Θ*-분할로부터 유도된 가중치가 부여된 몫 그래프를 사용하여 도수 거리와 구트만 지수에 대한 새로운 계산 방법을 제안한다. 이들 지수는 몫 그래프의 위너 지수를 통해 계산될 수 있으며, 핵심 결과로는 그래프가 부분 허밍턴 그래프일 때 구트만 지수의 경계가 정확히 같아지며, 이는 Hₙ과 같은 특정 가족에 대해 정확한 공식을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the paper we develop new methods for calculating the two well-known topological indices, the degree-distance and the Gutman index. Firstly, we prove that the Wiener index of a double vertex-weighted graph can be computed from the Wiener indices of weighted quotient graphs with respect to a partition of the edge set that is coarser than $Θ^*$-partition. This result immediately gives a method for computing the degree-distance of any graph. Next, we express the degree-distance and the Gutman index of an arbitrary phenylene by using its hexagonal squeeze and inner dual. In addition, it is shown how these two indices of a phenylene can be obtained from the four quotient trees. Furthermore, reduction theorems for the Wiener index of a double vertex-weighted graph are presented. Finally, a formula for computing the Gutman index of a partial Hamming graph is obtained.

연구 동기 및 목표

• 임의의 그래프에 대한 도수 거리와 구트만 지수를 계산하기 위한 일반화 가능한 방법을 개발하는 것.
• 절단 방법 기법을 双정점가중치 그래프로 확장하고, 이를 위상 지수에 적용하는 것.
• 페닐렌의 도수 거리와 구트만 지수를 그들의 육각 압축과 내부 이중도를 통해 표현하는 것.
• 이중 정점가중치 그래프의 위너 지수에 대한 단순화된 계산을 위한 감소 정리 도출.
• 구트만 지수에 대한 날카로운 부등식을 수립하고, 부분 허밍턴 그래프를 통해 등호 조건을 특성화하는 것.

제안 방법

• 그래프의 엣지 집합에 대한 Θ*-분할을 이용해 몰 그래프를 정의함으로써, 위너 지수 계산의 분해를 가능하게 한다.
• 더 넓은 분할인 Θ*보다 더 넓은 분할을 고려하여, 일반화된 절단 방법을 적용해 이중 정점가중치 그래프의 위너 지수를 몰 그래프를 통해 계산한다.
• 페닐렌의 도수 거리와 구트만 지수를 육각 압축과 내부 이중도를 통해 표현하며, 몰 트리를 활용한다.
• Θ*-엣지 제거 시 구성요소별 가중치 합을 분석함으로써 이중 정점가중치 그래프의 위너 지수에 대한 감소 정리를 유도한다.
• 표준 등장형 임bedding을 적용하여 위너 지수와 몰 그래프의 완전성 간의 관계를 규명하고, 등호가 성립하는 경우가 부분 허밍턴 그래프일 때 뿐임을 보여주는 부등식을 도출한다.
• 이 부등식의 등호 조건을 활용해 Hₙ(부분 허밍턴 그래프의 무한 가족)의 구트만 지수에 대한 폐쇄형 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도수 거리와 구트만 지수는 Θ*-분할에서 유도된 몰 그래프를 통해 효율적으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 이중 정점가중치 그래프의 위너 지수는 어떤 몰 구조를 통해 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 구트만 지수와 부분 허밍턴 그래프의 구조 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 페닐렌의 도수 거리와 구트만 지수는 그들의 육각 압축과 내부 이중도로 표현될 수 있는가?
• RQ5 가중치가 부여된 그래프의 위너 지수에 대한 부등식이 등호로 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 그래프의 도수 거리와 구트만 지수는 Θ*-분할보다 더 넓은 분할에 대해 정의된 몰 그래프의 위너 지수를 통해 계산될 수 있다.
• 페닐렌의 경우, 도수 거리와 구트만 지수는 모두 육각 압축과 내부 이중도를 통해 표현 가능하며, 네 개의 몰 트리로부터 명시적인 계산이 가능하다.
• 이중 정점가중치 그래프의 위너 지수에 대한 감소 정리가 확립되어 있으며, 이는 재귀적 또는 구성요소 기반 계산을 가능하게 한다.
• 가중치가 부여된 그래프의 위너 지수에 대한 부등식이 증명되었으며, 등호가 성립하는 경우가 부분 허밍턴 그래프일 때 뿐이다.
• 무한 가족 Hₙ(n ≥ 2)의 구트만 지수는 정확히 6n³ + 9n² − 4n + 1로 유도되었으며, 이는 부등식의 등호 조건에서 유도되었다.
• Hₙ에 대한 Θ*-클래스에 따른 몰 그래프들은 모두 완전 그래프이며, 이는 Hₙ이 부분 허밍턴 그래프임을 확인하고 등호 조건을 검증한다.