[논문 리뷰] New moments criteria for convergence towards normal product/tetilla laws

Ehsan Azmoodeh, Dario Gasbarra|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 25.

Random Matrices and Applications참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 각각 제2 웨이너 및 와이너 혼합에서 정규 곱 및 테틸라 법칙으로의 수렴을 위한 새로운 모멘트 기준을 수립한다. 수렴의 분포(및 워샤어슈타인-2 거리)가 제4모멘트와 더불어 더 높은 짝수 모멘트(어떤 r ≥ 3에 대해)의 수렴과 동치임을 증명하며, 고전적 제4모멘트 정리의 비정규 극한으로의 일반화를 이루고 있다.

ABSTRACT

In the framework of classical probability, we consider the normal product distribution $F_\infty \sim N_1 imes N_2$ where $N_1, N_2$ are two independent standard normal random variable, and in the setting of free probability, $F_\infty \sim \left( S_1 S_2 + S_2 S_1 ight)/\sqrt{2}$ known as {\it tetilla law} \cite{d-n}, where $S_1, S_2$ are freely independent normalized semicircular random variables. We provide novel characterization of $F_\infty$ within the second Wiener (Wigner) chaos. More precisely, we show that for any generic element $F$ in the second Wiener (Wigner) chaos with variance one the laws of $F$ and $F_\infty$ match if and only if $μ_4 (F)= 9 \, (\mbox{resp. }φ(F^4)=2.5)$, and $μ_{2r}(F)= ((2r-1)!!)^2 \, (\mbox{resp. }φ(F^{2r})=φ(F^{2r}_\infty ))$ for some $r \ge 3$, where $μ_r (F)$ stands for the $r$th moment of the random variable $F$, and $φ$ is the relevant tracial state. We use our moments characterization to study the non central limit theorems within the second Wiener (Wigner) chaos and the target random variable $F_\infty$. Our results generalize the findings in Nourdin \& Poly \cite{n-p-2w}, Azmoodeh, et. al \cite{a-p-p} in the classical probability, and of Deya \& Nourdin \cite{d-n} in the free probability setting.

연구 동기 및 목표

• 고차 모멘트를 이용하여 제2 웨이너 및 와이너 혼합 내 정규 곱 및 테틸라 법칙을 완전히 특성화하기 위해.
• 고전적 및 자유 제4모멘트 정리를 정규 분포가 아닌 목표 분포인 정규 곱 및 테틸라 법칙과 같은 비정규 극한으로 일반화하기 위해.
• 제2 혼합 내 수열에 대해 워샤어슈타인-2 거리에서 수렴 속도를 정량적으로 확립하기 위해.
• 수렴 기준에서 제4모멘트를 더 높은 짝수 모멘트로 대체할 수 있는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 독립 동일분포 가우시안 또는 반원형 랜덤 변수의 정규직교 기저를 사용하여 제2 웨이너 및 와이너 혼합 원소의 스펙트럼 표현을 유도한다.
• 말리아빈 미분법과 모멘트 전개를 활용하여 혼합 랜덤 변수의 모멘트와 그 혼합 전개에서의 계수 간의 관계를 규명한다.
• 함수 재정렬에 대한 하디-리틀우드 부등식을 적용하여 워샤어슈타인 거리의 상한을 모멘트 차이의 함수로 유도한다.
• 분포 수렴, L^p 수렴, L^2 수렴, 워샤어슈타인-2 거리 수렴, 특정 모멘트 수렴 간의 등가성을 확립한다.
• 마르코프 삼중항과 초수렴성의 개념을 활용하여 모멘트 수렴과 L^2 수렴 간의 연결 고리를 형성한다.
• 단위 분산을 가진 제2 혼합 내 수열에 대해, 목표 법칙으로 수렴하는 것은 제4모멘트와 하나의 더 높은 짝수 모멘트(어떤 r ≥ 3에 대해)가 해당 극한 법칙의 모멘트로 수렴하는 것과 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 분포로의 수렴을 위한 제4모멘트 기준이 정규 곱 및 테틸라 법칙과 같은 비정규 극한으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 제4모멘트와 하나의 더 높은 짝수 모멘트(어떤 r ≥ 3에 대해) 수렴이 정규 곱 또는 테틸라 법칙으로의 분포 수렴을 충분히 보장하는가?
• RQ3 수렴 기준에서 제4모멘트 조건을 두 개의 서로 다른 높은 짝수 모멘트 수렴(서로 다른 r, s ≥ 3에 대해)으로 대체할 수 있는가?
• RQ4 워샤어슈타인-2 거리 수렴과 제2 웨이너 및 와이너 혼합 내 모멘트 수렴 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 혼합 랜덤 변수의 스펙트럼 계수는 그 모멘트와 수렴 행동과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 단위 분산을 가진 제2 웨이너 혼합 내 수열 {F_n}에 대해, 정규 곱 법칙 F_∞ ∼ N₁×N₂로의 분포 수렴은 μ₄(F_n) → 9 및 μ₂ᵣ(F_n) → ((2r−1)!!)² (어느 r ≥ 3에 대해)와 동치이다.
• 자유 확률론적 설정에서, 테틸라 법칙 F_∞ ∼ (S₁S₂ + S₂S₁)/√2로의 분포 수렴은 φ(F₄ⁿ) → 2.5 및 φ(F₂ᵣⁿ) → φ(F₂ᵣ∞) (어느 r ≥ 3에 대해)와 동치이다.
• 워샤어슈타인-2 거리 d_W₂(F_n, F_∞) → 0은 분포 수렴, L² 수렴, 계수 수열 λ_n 의 ℓ² 노름이 F_∞의 그것으로 수렴하는 것과 동치이다.
• 워샤어슈타인-2 거리는 제6모멘트와 제4모멘트의 차이의 제곱근에 비례하는 상한을 가지며, 이는 모멘트 차이와 거리 간의 정량적 연결 고리를 확립한다.
• 제2 웨이너 혼합의 초수렴성은 모든 p ≥ 1에 대해 L² 수렴이 L^p 수렴을 암시함을 보여주며, 이는 L^p 수렴과 L² 수렴 간의 등가성을 뒷받침한다.
• 두 개의 서로 다른 높은 짝수 모멘트 수렴(어느 r, s ≥ 3, r ≠ s에 대해)이 분포 수렴을 보장하는 것으로 추측되며, 이는 제4모멘트가 필요 없어짐을 시사한다.