[논문 리뷰] New Nonconforming Elements for Linear Strain Gradient Elastic Model

Hongliang Li, Pingbing Ming외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 04.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 변형률 기울기 탄성 모델을 위한 새로운 비일치 유한요소를 제안하며, 기울기 점프 항을 제거하는 새로운 H²-Korn 부등식을 활용한다. 이 방법은 더 단순한 요소들—예를 들어 텐서 곱 NTW 및 스펙트 삼각형, 수정된 모를리 요소—을 사용하여 강건하고 균일 수렴하는 근사치를 가능하게 하며, 최적 수렴률을 달성한다. 수치 실험에서는 반차수 수렴이 확인된다.

ABSTRACT

Based on a new H$^2-$Korn's inequality, we propose new nonconforming elements for the linear strain gradient elastic model. The first group of elements are H$^1-$conforming but H$^2-$nonconforming. The tensor product NTW element [Tai:2001] and the tensor product Specht triangle are two typical representatives. The second element is based on Morley's triangle with a modified elastic strain energy. We proved new interpolation error estimates for all these elements, which are key to prove uniform rates of convergence for the proposed elements. Numerical results are reported and they are consistent with the theoretical prediction.

연구 동기 및 목표

• 소재 매개변수의 크기가 작아도 균일 수렴성을 확보하는 간단하고 강건한 비일치 유한요소를 선형 변형률 기울기 탄성 모델에 개발한다.
• C¹ 연속 요소의 높은 자유도와 복잡성 문제를 해결하기 위해 H¹ 연속이지만 H² 비연속인 요소를 사용한다.
• 기울기 점프 항을 포함하지 않는 새로운 이산 H²-Korn 부등식을 수립하여 요소 구축을 단순화하고 최적 수렴을 가능하게 한다.
• 소재의 미세 구조적 매개변수에 영향을 받지 않는 균일 수렴률을 보장하는 새로운 보간 오차 추정식을 증명한다.
• 매끄럽고 경계층 해를 포함한 모델 문제에 대한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 기울기 점프 항을 배제하는 새로운 이산 H²-Korn 부등식과 그 이산 형태를 제안하여 비일치 요소의 구축을 단순화한다.
• 두 가지 유형의 요소를 구성한다: NTW 및 스펙트 삼각형의 텐서 곱(9개 자유도, 4차 다항식), 그리고 탄성 변형에너지가 조정된 수정된 모를리 삼각형 요소.
• 이산 H²-Korn 부등식을 활용하여 소재 매개변수 ι에 대해 에너지 노름에서 균일 수렴을 증명한다.
• 모든 제안된 요소에 대해 새로운 보간 오차 추정식을 유도하며, 이는 최적 수렴률을 증명하는 데 필수적이다.
• 모델 문제에 대해 메esh 크기를 변화시키며 ι = 10⁻⁶ 조건에서 요소를 구현하고 시험하여 이론적 수렴률을 확인한다.
• 이산 H²-Korn 부등식을 기반으로 향후 3차원 확장 및 C⁰ 페널티 방법에 대한 응용 가능성을 모색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기 점프 항을 배제하는 새로운 이산 H²-Korn 부등식을 유도할 수 있는가? 이는 변형률 기울기 탄성 모델의 비일치 요소를 보다 단순하게 구축할 수 있도록 한다.
• RQ2 제안된 비일치 요소는 소재 매개변수 ι에 대해 에너지 노름에서 균일 수렴성을 확보하는가?
• RQ3 탄성 변형에너지가 적절히 조정된 수정된 모를리 삼각형 요소는 기존 형태에서 실패했음에도 불구하고 균일 수렴성을 달성하는가?
• RQ4 제안된 요소의 최적 수렴률은 무엇이며, 수치 실험에서 이론적 예측과 일치하는가?
• RQ5 새로운 H²-Korn 부등식은 3차원 문제와 C⁰ 페널티 방법에 확장 가능한가?

주요 결과

• 제안된 NTW 및 스펙트 삼각형 요소는 에너지 노름에서 이론적 예측과 일치하는 약 반차수 수렴률(≈0.5)을 달성한다.
• 수정된 모를리 요소는 첫 번째 메쉬 세분화에서 약 0.6의 수렴률을 보이며, 이론적 반차수 수렴률에 점차 수렴한다.
• 수치 결과는 모든 테스트된 요소에서 소재 매개변수 ι = 10⁻⁶에 대해 균일 수렴성을 확인한다.
• 새로운 이산 H²-Korn 부등식은 모서리에 따른 기울기 자유도가 필요 없음을 보여주어 요소 구축을 단순화한다.
• 유도된 보간 오차 추정식은 날카롭고, 제안된 모든 요소에 대한 균일 수렴 증명에 직접 기여한다.
• 기존의 C¹ 연속 또는 고차수 H² 비연속 방법에 비해 더 단순한 요소를 사용함으로써 강건하고 최적의 수렴을 달성할 수 있다.