[논문 리뷰] New numerical scheme of Atangana-Baleanu fractional integral: an application to groundwater flow within leaky aquifer

Jean‐Daniel Djida, Iván Area외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 27.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 함수와 그 Riemann-Liouville 분수적 적분의 가중 평균을 이용한 Atangana-Baleanu 분수적 적분에 대한 새로운 수치적 방법을 제안하며, 누출성 암거에서의 지하수 유동 모델을 통해 검증한다. 오차 분석과 시뮬레이션을 통해 높은 정확도를 입증하며, Mittag-Leffler 핵을 통해 비균질 다孔성 매질에서의 기억 효과를 포착함으로써 고전 모델에 비해 향상된 물리적 현실성을 보인다.

ABSTRACT

Many physical problems can be described using the integral equations known as Volterra equations. There exists quite a number of analytical methods that can handle these equations for linear cases. For non-linear cases, a numerical scheme is needed to obtain an approximation. Recently a new concept of fractional differentiation was introduced using the Mittag-Leffler function as kernel, and the associate fractional integral was also presented. Up to this point there is no numerical approximation of this new integral in the literature. Therefore, to accommodate researchers working in the field of numerical analysis, we propose in this paper a new numerical scheme for the new fractional integral. To test the accuracy of the new numerical scheme, we first revisit the groundwater model within a leaky aquifer by reverting the time classical derivative with the Atangana-Baleanu fractional derivative in Caputo sense. The new model is solved numerically by using this new scheme.

연구 동기 및 목표

• 문헌에서 아직 이러한 방법이 없는 Atangana-Baleanu 분수적 적분을 위한 수치적 근사 방법을 개발하는 것.
• Atangana-Baleanu 분수적 미분을 Caputo 의미에서 사용하여 누출성 암거에서의 지하수 유동을 모델링하기 위해 새로운 수치적 방법을 적용하는 것.
• 제안된 방법의 정확도와 수렴성을 분수적 지하수 유동 모델의 수치 시뮬레이션을 통해 검증하는 것.
• Mittag-Leffler 핵이 다孔성 매질에서의 기억 효과와 비균질성 영향을 포착하는 데 있어 물리적 관련성을 입증하는 것.

제안 방법

• 함수와 그 Riemann-Liouville 분수적 적분의 평균에 기반한 유한 차분 방법을 사용하여 Atangana-Baleanu 분수적 적분을 이산화한다.
• 시간에 대해서는 반연속 유한 차분 방법을, 공간에 대해서는 갈레르킨 유한 요소 방법을 적용하여 유도된 편미분 방정식을 해결한다.
• 이전 시간 단계에서의 함수 값의 가중 합을 사용하여 수치적 방법을 구성하며, Mittag-Leffler 함수로부터 유도된 계수를 포함한다.
• 수치 근사의 수렴성과 안정성을 확립하기 위해 오차 분석을 수행한다.
• 기존의 시간 도함수를 Atangana-Baleanu 분수적 도함수(_CAPUTO_ 의미)로 대체하여 지하수 모델을 재구성한다.
• 350개의 등간격 공간 노드와 다양한 시간 간격을 사용하여 시뮬레이션을 수행하여 다양한 분수적 순서 α에 따른 해의 행동을 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문헌에서 아직 이러한 근사가 없는 Atangana-Baleanu 분수적 적분을 위한 안정적이고 정확한 수치적 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 Atangana-Baleanu 도함수에 사용된 Mittag-Leffler 핵은 고전 모델에 비해 비균질이고 누설성이 있는 암거에서의 지하수 유동 모델링을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 제안된 Atangana-Baleanu 적분을 위한 수치적 방법의 수렴 성질과 오차 크기는 어떠한가?
• RQ4 분수적 순서 α는 누설성 암거 모델에서의 지하수 유동 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 수치적 방법은 지하 흐름 과정에서 기억 효과의 물리적 현실성을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 Atangana-Baleanu 분수적 적분을 위한 수치적 방법은 논문에서 제시된 오차 분 析를 통해 매우 높은 정확도를 보임을 확인하였다.
• 시뮬레이션 결과, 다양한 분수적 순서 α에 따라 해의 진전 양상이 다름을 확인하였으며, α = 1/2와 α = 9/10에서는 시간이 지남에 따라 서로 다른 흐름 패tern을 보였다.
• k=50(후속 시간 단계)에서의 해는 k=0에 비해 지하수 수위의 변화가 더 뚜렷하게 나타나, 분수적 기억 효과에 부합하는 동적 진전을 보였다.
• Mittag-Leffler 핵의 사용은 고전적인 거듭제곱 법 핵보다 비균질 매질에서 물리적 과정을 더 자연스럽게 표현할 수 있도록 한다.
• 수치적 결과는 주어진 조건 하에서 분수적 지하수 모델의 해가 존재하고 유일함을 확인하였다.
• 공간 노드 수를 증가시킴(예: 350개)함으로써 전체 영역 [0,1]에서 해의 정확도가 향상됨을 확인하였다.