[논문 리뷰] New p-adic hypergeometric functions and syntomic regulators

Masanori Asakura|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 p-진 다이아몬드 함수와 초함수 급수의 적분 변환을 통해 구성된 새로운 p-진 초함수 함수를 도입한다. 이 함수들은 로그 유형의 p-진 초함수 함수로서, Dwork의 결과에 유사한 p-진 합동 관계를 증명하고 수렴성을 보이며, 초함수 곡선, 페르마 곡선, 타원 곡선의 신토믹 리지우어와 관련된 특수값이 나타남을 보여주며, p-진 L-함수와의 연결을 p-진 베일린슨 추측이 예측한 바와 같이 맺는다.

ABSTRACT

We introduce new p-adic convergent functions, which we call the p-adic hypergeometric functions of logarithmic type. The first main result is to prove the congruence relations that are similar to Dwork's. The second main result is that the special values of our new functions appear in the syntomic regulators for hypergeometric curves, Fermat curves and some elliptic curves. According to the p-adic Beilinson conjecture by Perrin-Riou, they are expected to be related with the special values of p-adic L-functions. We provide one example for this.

연구 동기 및 목표

• p-진 로그 함수의 변형으로서 새로운 p-진 초함수 함수의 정의와 연구.
• 기존의 Dwork의 고전적 결과에 유사한 p-진 합동 관계의 수립.
• 이러한 함수의 특수값이 대수적 곡선에서 신토믹 리지우어와 연결됨을 밝힘.
• p-진 베일린슨 추측에 따라 이러한 특수값이 타원 곡선과 초함수 곡선의 p-진 L-값과 일치하는 지 확인함.
• 유리수 상수에 의존하지 않는 p에 독립적인 상수를 포함하는 구체적 예와 추측을 제시함.

제안 방법

• Diamond의 p-진 다이아몬드 함수를 수정하여 p-진 다이아몬드 함수 ψp(r)(z)를 정의함.
• 함수 Gₐ(t)를 p-진 다이아몬드 항목, 오일러의 상수 γp, 로그 항목, 그리고 Fₐ(t) − Fₐ′(tσ)의 적분 변환의 조합으로 구성함.
• 새로운 p-진 초함수 함수를 비율 𝔽ₐ(σ)(t) = Gₐ(t)/Fₐ(t)로 정의하며, 모든 ai = 1 이고 c = 1 일 때 p-진 로그 함수를 일반화함.
• 𝔽ₐ(σ)(t)가 pn에 모듈로하는 p-진 합동 관계를 만족함을 증명하여 p-진 수렴성을 확보함.
• 𝔽ₐ(σ)(t)가 ℤp⟨t, h(t)⁻¹⟩의 링에 속함을 증명함으로써, |h(α)|p = 1 인 t = α 에서 특수값이 잘 정의됨을 보장함.
• 신토믹 코homology와 리지우어 사상의 도움을 통해, 𝔽ₐ(σ)(t)의 특수값이 p-진 베일린슨 추측을 통해 곡선의 p-진 L-함수와 연결됨을 밝힘.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 새로운 p-진 초함수 함수의 로그 유형은 고전적 p-진 초함수 함수의 Dwork 유사 합동 관계를 만족하는가?
• RQ2 이러한 새로운 함수의 특수값은 대수적 곡선에서 신토믹 코homology의 리지우어로 표현될 수 있는가?
• RQ3 p-진 베일린슨 추측이 예측한 lin과 같이 이러한 특수값은 타원 곡선과 초함수 곡선의 p-진 L-함수와 관련이 있는가?
• RQ4 특수값과 p-진 L-값 사이의 관계를 정의하는 유리수 상수 Cₐ는 무엇이며, 이는 p에 독립적인가?
• RQ5 어떤 유리수 매개변수 a에 대해 관련 K₂ 기호가 정수여서 리지우어와 L-함수 관계의 타당성이 보장되는가?

주요 결과

• 새로운 p-진 초함수 함수 𝔽ₐ(σ)(t)는 pn에 모듈로하는 합동 관계를 만족하여 p-진 수렴성을 보장함.
• 3y² = 2x³ − 3x² + 1 − a 로 정의된 타원 곡선 Xₐ 에서 a = 4 일 때, 특수값 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(a) 는 −1 곱하기 p-진 L-값 Lₚ(Xₐ, ω⁻¹, 0) 와 일치함.
• Fermat 곡선 F₃,₃ 에서 특수값 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(1) 은 p-진 L-값 Lₚ(F₃,₃, ω⁻¹, 0) 과 유리수 상수 C 에 의해 비례하며, 이 C 는 p에 독립적임.
• 곡선 F₂,₄* 에서 특수값 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(1) 은 p-진 L-값 Lₚ(F₂,₄*, ω⁻¹, 0) 과 유리수 상수 C′′ 에 의해 비례하며, 이 C′′ 는 p에 독립적임.
• K₂ 기호가 정수일 때, 다양한 타원 곡선에서 (1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(a) = CₐLₚ(Xₐ, ω⁻¹, 0) 관계가 성립하며, Cₐ ∈ ℚ× 는 p에 독립적임.
• 논문은 K₂ 기호가 정수인 구체적 가족을 제시함 (예: a = 1/n 이며 n ≡ 0,2 mod 6), 이는 추측된 관계의 타당성을 뒷받침함.