[논문 리뷰] New Permanent Estimators via Non-Commutative Determinants

Alexander Barvinok|ArXiv.org|2000. 07. 25.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 8인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 결합 대수에서의 행렬에 대해 비가환 행렬식의 새로운 형태인 대칭화된 행렬식을 도입하며, 이는 다항식 시간 내에 계산 가능하게 한다. 이 행렬식을 이용해 랜덤화된 영구행렬 추정기를 구성하였고, 행렬 대수 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$에 표준 정규 측도를 부여할 경우, 추정기는 영구행렬을 $O(\gamma_d^n)$ 요소 내에서 근사할 것으로 추측된다. 여기서 $\gamma_d \to 1$ 이 되며, 대수 차원이 증가함에 따라 농도가 향상됨을 시사한다.

ABSTRACT

We introduce a new notion of the determinant, called symmetrized determinant, for a square matrix with the entries in an associative algebra $Å$. The monomial expansion of the symmetrized determinant is obtained from the standard expansion of the commutative determinant by averaging the products of entries of the matrix in all possible orders. We show that for any fixed finite-dimensional associative algebra $Å$, the symmetrized determinant of an $n imes n$ matrix with the entries in $Å$ can be computed in polynomial in $n$ time (the degree of the polynomial is linear in the dimension of $Å$). Then, for every associative algebra $Å$ endowed with a scalar product and unbiased probability measure, we construct a randomized polynomial time algorithm to estimate the permanent of non-negative matrices. We conjecture that if $Å=\Mat(d, {\Bbb R})$ is the algebra of $d imes d$ real matrices endowed with the standard scalar product and Gaussian measure, the algorithm approximates the permanent of a non-negative $n imes n$ matrix within $O(γ_d^n)$ factor, where $\lim_{d \longrightarrow +\infty} γ_d=1$. Finally, we provide some informal arguments why the conjecture might be true.

연구 동기 및 목표

• 비가환 행렬식에 기반한 새로운 영구행렬 추정기의 클래스를 개발하여 기존 방법보다 농도와 계산 효율성에서 뛰어나게 한다.
• 유한 차원 결합 대수에서의 행렬에 대해 대칭화된 행렬식을 정의하고 분석함으로써 다항식 시간 내에 계산 가능함을 보장한다.
• 결합 대수에서 스칼라 곱과 무편향 측도를 사용하여 비음수 행렬의 영구행렬을 추정하는 랜덤화된 다항식 시간 알고리즘을 구성한다.
• 행렬 대수 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$에 표준 정규 측도를 부여할 경우, 추정기가 대수 차원 $d$ 증가에 따라 상대 오차가 지수적으로 감소함을 추측한다.
• 대칭화된 행렬식이 카일리 행렬식보다 더 우수한 농도 행동을 보이는 이론적 근거를 제공한다.

제안 방법

• 비가환 대수로 일반화된 가환 행렬식을 일반화하기 위해, 모든 순열에 대한 단항식 곱의 평균으로서 대칭화된 행렬식을 도입한다.
• 임의의 고정된 유한 차원 결합 대수 $\mathcal{A}$에 대해, $\mathcal{A}$ 위의 $n \times n$ 행렬에 대한 대칭화된 행렬식은 $n$에 대해 다항식 시간 내에 계산 가능하며, 차수는 $\dim \mathcal{A}$에 선형적이다.
• 영구행렬 추정기를 구성하기 위해, $\mathcal{A} = \operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$에서 표준 정규 측도를 따르는 $n^2$개의 행렬 $u_{ij}$를 샘플링하고, $b_{ij} = u_{ij}\sqrt{a_{ij}}$로 구성된 행렬 $B$를 만든다. 그 다음 $\alpha = \|\operatorname{sdet} B\|^2 / \|\operatorname{sdet} E\|^2$를 계산한다. 여기서 $E$는 $u_{ii}$를 대각성분으로 가지는 대각행렬이다.
• 결합 대수 $\mathcal{A}$에서 스칼라 곱 $\langle a,b \rangle = \operatorname{Tr}(ab^t)$를 정의하여 측도 및 추정기 구성에 사용되는 내적 공간을 설정한다.
• 체비셰프 부등식과 측도 농도 히وري스틱을 적용하여 추정기가 영구행렬 주위에 강한 농도를 보일 것이라고 주장한다.
• 대칭화된 행렬식이 $n!$개의 카일리 행렬식의 평균임을 이용하여, 개별 카일리 행렬식보다 더 좋은 농도를 보일 것임을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 대수로 일반화된 행렬식을 정의할 수 있는가? 이는 행렬 원소의 모든 순서에 대한 단항식 전개의 평균이 되며, 효율적 계산과 영구행렬 추정에 기여할 수 있다.
• RQ2 표준 정규 측도를 갖는 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$에서의 대칭화된 행렬식은 대수 차원 $d$ 증가에 따라 상대 오차가 지수적으로 감소하는 영구행렬 추정기를 제공하는가?
• RQ3 대칭화된 행렬식 추정기의 농도가 카일리 행렬식의 농도와 동일하거나 더 날카로운가? 이는 모든 행 순열에 대한 평균이기 때문이다.
• RQ4 대칭화된 행렬식의 제곱 노름의 기대값은 계산 가능한 정규화 인자와 연결되어 영구행렬과 관련이 있는가?
• RQ5 근사 인자 $\gamma_d^n$ 의 점점 증가하는 $d$ 에 대한 점근적 행동은 어떻게 되며, $d \to \infty$ 일 때 1로 수렴하는가?

주요 결과

• 고정된 유한 차원 결합 대수 $\mathcal{A}$ 위의 $n \times n$ 행렬에 대한 대칭화된 행렬식은 $n$에 대해 다항식 시간 내에 계산 가능하며, 차수는 $\dim \mathcal{A}$에 선형적이다.
• 스칼라 곱과 무편향 측도를 갖는 임의의 결합 대수 $\mathcal{A}$에 대해, 비음수 행렬의 영구행렬을 추정하는 랜덤화된 다항식 시간 알고리즘이 존재하며, 이는 성질 (1.2.1)–(1.2.4)를 만족한다.
• 표준 정규 측도를 갖는 $\mathcal{A} = \operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$를 사용한 추정기는 $\operatorname{per} A$를 $\gamma_d^n$ 요소 내에서 근사할 것으로 추측되며, $\lim_{d \to \infty} \gamma_d = 1$ 이다.
• 알고리즘의 복잡도는 $O(n^{d^2 + 3})$이며, 행렬 대수의 차원에 따라 스케일링된다.
• 이론적 논증에 따르면, 대칭화된 행렬식의 농도는 카일리 행렬식의 농도와 동일하거나 더 강하다. 이는 모든 순열에 대한 평균이기 때문이다.
• 대칭화된 행렬식의 제곱 노름 기대값을 대각행렬의 경우로 정규화하면 영구행렬과 일치하며, 이는 추정의 무편향성을 보장한다.