[논문 리뷰] New perspectives on output feedback stabilization at an unobservable target

Lucas Brivadis, Jean-Paul Gauthier외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 49인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템에서 관측 불가능한 목표점에서 동적 출력 피드백 안정화를 위한 새로운 무한차원 관측기 프레임워크를 제안한다. 시스템을 무한차원 유니터리 시스템에 통합하고 표현 이론을 활용함으로써, 관측 가능성 특이점을 극복하는 소산성 오차 관측기를 설계하여, 고전적 방법이 안정성 상실로 인해 실패하는 경우에도 전역 안정화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We address the problem of dynamic output feedback stabilization at an unobservable target point. The challenge lies in according the antagonistic nature of the objective and the properties of the system: the system tends to be less observable as it approaches the target. We illustrate two main ideas: well chosen perturbations of a state feedback law can yield new observability properties of the closed-loop system, and embedding systems into bilinear systems admitting observers with dissipative error systems allows to mitigate the observability issues. We apply them on a case of systems with linear dynamics and nonlinear observation map and make use of an ad hoc finite-dimensional embedding. More generally, we introduce a new strategy based on infinite-dimensional unitary embeddings. To do so, we extend the usual definition of dynamic output feedback stabilization in order to allow infinite-dimensional observers fed by the output. We show how this technique, based on representation theory, may be applied to achieve output feedback stabilization at an unobservable target.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템에서 평형점 근처에서 관측 가능성의 열화로 인해 관측 불가능한 목표점에서의 안정화라는 근본적 과제를 해결한다.
• 비선형 시스템에서 관측 가능성 특이성으로 인해 고전적 분리 원리 및 Luenberger 관측기 설계가 실패하는 문제를 해결한다.
• 유한차원 관측기를 초월해 무한차원 상태 공간으로 확장되는 동적 출력 피드백 안정화를 위한 새로운 프레임워크를 개발한다.
• 무한차원 관측기가 유한차원 설정에서 안정화를 방해하는 위상수학적 장벽을 회피할 수 있음을 보여준다.
• 관측 불가능성이 목표점에서 발생하더라도 소산성 오차 동역학과 피드백 교란을 통해 점점 더 안정성이 보장되는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 원래의 비선형 시스템을 선형 출력을 갖는 이차형 시스템으로의 무한차원 유니터리 통합을 제안하여 관측기 설계를 가능하게 한다.
• 무한차원 관측기를 포함하는 동적 출력 피드백 안정성 정의를 수정하여 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.
• 유니터리 진동 연산자를 유지하고 시스템 구조를 보존함으로써 관측기 합성을 가능하게 하는 표현 이론을 활용한다.
• 오차 동역학이 수축성이고 감소하는 것을 보장함으로써 오차 시스템을 소산성으로 설계하여 수렴을 보장한다.
• 시간에 의존하지 않는 피드백 교란을 사용하여 선형 보존 동역학과 비선형 관측 맵을 갖는 시스템에 방법을 적용한다.
• 특성 방법과 Duhamel의 공식을 활용하여 PDE에 통합된 시스템에서 관측기 상태와 오차 동역학의 수렴성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 관측기는 유한차원 출력 피드백 프레임워크에서 안정화를 방해하는 관측 가능성 특이점을 완화시킬 수 있는가?
• RQ2 비선형 시스템이 무한차원 유니터리 시스템에 통합된 경우, 소산성 오차 시스템을 구성할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 유니터리 시스템에 통합함으로써 안정성 유지와 목표점 근처의 피드백 교란 전략이 어떻게 유지되는가?
• RQ4 비선형 시스템의 관측 불가능한 평형점에 대해 표현 이론을 체계적으로 적용하여 관측기를 설계할 수 있는가?
• RQ5 동적 출력 피드백의 정의를 무한차원 관측기를 포함하도록 확장함으로써 안정화의 위상수학적 장벽이 해결되는가?

주요 결과

• 제안된 무한차원 관측기 프레임워크는 고전적 관측기가 관측 가능성 상실로 인해 실패하는 경우에도 관측 불가능한 목표점에서 시스템을 성공적으로 안정화시킨다.
• 관측기의 오차 동역학은 소산성이고 수축성임이 증명되어 추정 오차가 점점 더 0으로 수렴함을 보장한다.
• 선형 보존 동역학과 비선형 출력을 갖는 특정 시스템 클래스에 대해 피드백 교란과 유니터리 통합을 통해 전역 점근적 안정성이 달성된다.
• 관측기 설계에서 행렬 Q는 α > 0 인 경우 가역임이 입증되어 잘 정의된 관측기 합성 절차의 존재를 보장한다.
• 관측기 상태 ẑ(t)의 극한 행동은 약한 수렴으로 1로 수렴하고, t → ∞ 일 때 오차 ε(t) → 0 임을 확인하여 상태 추정의 수렴성을 확인한다.
• 핵심 결과 N²∞ = 0 이 도출되어, 무한차원 노름에서의 추정 오차가 사라짐을 증명하며 이는 닫힌 루프 시스템의 전역 안정성을 의미한다.