[논문 리뷰] New perturbative method for solving the gravitational N-body problem in general relativity

Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 30.

Pulsars and Gravitational Waves Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 약한 필드 및 저속 조건 하에서 일반 상대성 이론의 상대론적 N체 문제를 해결하기 위한 새로운 섭동 방법을 제안한다. 시공간 계량을 관성계, 자기장 및 상호작용 항으로 분해하고 조화 조건을 적용함으로써, 전 푸앵카레 군을 N체 시스템의 가속하는 관찰자로 확장하는 후 갈릴레이 좌표 변환을 도출하며, 전체 다중극 구조를 포함하는 일관된 상대론적 운동 방정식을 얻는다.

ABSTRACT

We present a new approach to describe the dynamics of an isolated, gravitationally bound astronomical $N$-body system in the weak field and slow-motion approximation of the general theory of relativity. Celestial bodies are described using an arbitrary energy-momentum tensor and assumed to possess any number of internal multipole moments. The solution of the gravitational field equations in any reference frame is presented as a sum of three terms: i) the inertial flat spacetime in that frame, ii) unperturbed solutions for each body in the system that is covariantly transformed to the coordinates of this frame, and iii) the gravitational interaction term. We use the harmonic gauge conditions that allow reconstruction of a significant part of the structure of the post-Galilean coordinate transformation functions relating global coordinates of the inertial reference frame to the local coordinates of the non-inertial frame associated with a particular body. The remaining parts of these functions are determined from dynamical conditions, obtained by constructing the relativistic proper reference frame associated with a particular body. In this frame, the effect of external forces acting on the body is balanced by the fictitious frame-reaction force that is needed to keep the body at rest with respect to the frame, conserving its relativistic three-momentum. The resulting post-Galilean coordinate transformations have an approximate group structure that extends the Poincar'e group of global transformations to the case of accelerating observers in a gravitational field of $N$-body system. We present and discuss the structure of the metric tensors corresponding to the reference frames involved, the rules for transforming relativistic gravitational potentials, the coordinate transformations between frames and the resulting relativistic equations of motion.

연구 동기 및 목표

• 약한 필드 및 저속 근사 조건 하에서 일반 상대성 이론에서 고립된 N체 시스템을 체계적으로 모델링하기 위한 섭동 프레임워크를 개발하는 것.
• 우주의 천체의 내부 다중극 모멘트를 제한 없이 상대론적 역학에 통합하는 것.
• 각 천체에 대해 외부 중력력과 허구적 관성력 반작용을 균형 잡아 상대론적 3운동량을 유지하는 일관된 상대론적 고유 기준좌표계를 구성하는 것.
• 후 갈릴레이 변환을 통해 상대론적 N체 시스템의 가속 관찰자에게 푸앵카레 군의 전역 대칭을 근사적인 군 구조로 확장하는 것.
• N체 시스템 내 다양한 기준좌표계 간 중력 잠재력과 계량 텐서의 변환 규칙을 명시적으로 도출하는 것.

제안 방법

• 시공간 계량을 세 구성요소로 분해한다: 관성계 평탄한 시공간, 개별 천체의 공변 변환된 자기장, 그리고 중력 상호작용 항.
• 조화 조건을 도입하여 전역 관성좌표계와 각 천체의 국소 비관성 기준좌표계를 연결하는 후 갈릴레이 좌표 변환 함수의 대부분을 재구성한다.
• 남은 좌표 변환 성분은 각 천체의 상대론적 고유 기준좌표계를 구성함으로써 유도된 역학적 조건에 의해 결정된다.
• 고유 기준좌표계에서는 외부 힘이 허구적 관성력 반작용과 균형을 이루며, 상대론적 3운동량의 보존을 보장하고 일관된 역학을 가능하게 한다.
• 이 방법은 모든 관련 기준좌표계에서 계량 텐서의 닫힌 형태의 구조를 도출하고 상대론적 중력 잠재력의 변환 규칙을 제공한다.
• 최종적으로 유도된 운동 방정식은 모든 다중극 모멘트를 포함하며, 프레임 간 일관성을 유지하는 전 상대론적 역학에서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 필드 및 저속 근사 조건에서 일반 상대성 이론의 N체 문제를 어떻게 일관되게 공식화할 수 있으며, 각 천체의 상대론적 운동량 보존을 유지할 수 있는가?
• RQ2 중력 N체 시스템에서 가속하는 관찰자에게 푸앵카레 군을 확장하는 후 갈릴레이 좌표 변환의 구조는 어떠한가?
• RQ3 게이지 불변성과 물리적 일관성 있게 자기장과 관성 배경에서 상호작용 항을 체계적으로 분리할 수 있는가?
• RQ4 N체 시스템에서 전역 관성 기준좌표계와 국소 고유 기준좌표계 간 중력 잠재력과 계량 텐서의 변환 규칙은 무엇인가?
• RQ5 천체의 임의의 내부 다중극 모멘트를 보존 법칙을 위반하지 않으면서 상대론적 운동 방정식에 일관되게 포함할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 시공간 계량을 세 가지 물리적으로 의미 있는 구성요소로 성공적으로 분해한다: 관성 배경, 자기장 기여, 그리고 중력 상호작용 항.
• 조화 조건을 통해 후 갈릴레이 변환 함수의 대부분을 재구성할 수 있어 일관된 기준좌표계 간 변환을 가능하게 한다.
• 남은 변환 성분이 역학적으로 결정되어 외부 힘이 허구적 관성력 반작용과 균형을 이루며, 고유 기준좌표계에서 상대론적 3운동량이 보존됨을 보장한다.
• 유도된 후 갈릴레이 변환은 근사적인 군 구조를 보이며, 푸앵카레 군을 N체 중력장 내의 가속 관찰자로 일반화한다.
• 상대론적 중력 잠재력과 계량 텐서의 변환 규칙을 명시적으로 도출하여 다양한 기준좌표계 간 일관된 역학을 가능하게 한다.
• 이 방법은 모든 다중극 모멘트를 포함하고 전역 및 국소 기준좌표계 모두에서 유효한 자기 일관성 있는 상대론적 운동 방정식 세트를 도출한다.