[논문 리뷰] New Planar Binomials in Characteristic Two

Sihuang Hu, Shuxing Li외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 26.

Coding theory and cryptography인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 특성 2에서 새로운 세 종류의 가상 평면 이항형을 도입하여, 평면 함수 이론을 짝수 특성으로 확장한다. 이러한 이항형을 구성함으로써 저자들은 가환환 위의 연관 체계와 가상 평면 함수 사이의 연결 고리를 확립하며, 짝수 특성에서 유한 사영 평면과 조합 설계의 구축을 발전시킨다.

ABSTRACT

Planar functions in odd characteristic were introduced by Dembowski and Ostrom in order to construct finite projective planes in 1968. They were also used in the constructions of DES-like iterated ciphers, error-correcting codes, and signal sets. Recently, a new notion of pseudo-planar functions in even characteristic was proposed by Zhou. These new pseudo-planar functions, as an analogue of planar functions in odd characteristic, also bring about finite projective planes. There are three known infinite families of pseudo-planar monomial functions constructed by Schmidt and Zhou, and Scherr and Zieve. In this paper, three new classes of pseudo-planar binomials are provided. Moreover, we find that each pseudo-planar function gives an association scheme which is defined on a Galois ring.

연구 동기 및 목표

• 새로운 가상 평면 이항형의 클래스를 도입함으로써 평면 함수 이론을 짝수 특성으로 확장한다.
• 특성 2에서 알려진 무한한 가상 평면 단항형의 가족 수가 제한되어 있음을 해결한다.
• 가상 평면 함수와 가환환 위에 정의된 연관 체계 사이의 구조적 연결 고리를 확립한다.
• 기존 결과를 일반화하는 새로운 대수적 구축 방법을 제공함으로써 유한 기하학과 조합 설계 이론을 발전시킨다.

제안 방법

• 다항식 사상의 대수적 성질을 이용하여 특성 2인 유한체 위에서 새로운 이항형 함수의 클래스를 구성한다.
• 짝수 특성에서 특정 미분 균일성 조건의 소멸을 통해 가상 평면 조건을 검증한다.
• 가환환의 대수적 구조를 활용하여 가상 평면 함수에 의해 유도된 연관 체계를 정의하고 분석한다.
• 기존의 유한 기하학 및 코드 이론 결과를 적용하여 구성된 함수의 조합적 성질을 검증한다.
• 관련 제곱형의 핵과 상사 구조를 분석하여 가상 평면성을 확인한다.
• 가상 평면 함수와 적절한 계수를 가진 가환환 위의 대칭 연관 체계 사이의 일대일 대응을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 단항형 가족 외에 특성 2에서 새로운 가상 평면 이항형의 클래스는 무엇이 있는가?
• RQ2 짝수 특성에서의 가상 평면 함수는 유한 사영 평면과 조합 설계와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 가상 평면 함수는 체계적으로 가환환 위의 연관 체계와 연결될 수 있는가?
• RQ4 이러한 새로운 가상 평면 함수의 구축을 뒷받침하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ5 기존에 알려진 가상 평면 함수의 가족과 비교할 때, 이러한 새로운 이항형은 구조적 및 성질적으로 어떻게 다를까?

주요 결과

• 특성 2에서 새로운 무한한 세 종류의 가상 평면 이항형이 구성되었으며, 기존의 단항형 외의 가족으로 확장되었다.
• 본 논문의 각 가상 평면 함수는 특성 2^r이고 잔여체 크기가 2^n인 가환환 위에 정의된 대칭 연관 체계를 유도한다.
• 가상 평면 함수에서 유도된 연관 체계는 교환법칙이 성립하고 대칭적이며, 잘 정의된 교차 수를 가짐을 보였다.
• 구성 과정은 짝수 특성에서의 가상 평면 조건이 가환환 위의 매우 구조화된 조합적 대상으로 이어짐을 보여준다.
• 이전의 평면 유사 함수의 구축을 일반화하며, 유한 기하학과 코드 설계 분야에 새로운 도구를 제공한다.
• 가상 평면 함수와 가환환 기반 연관 체계 사이의 연결 고리는 이러한 함수를 연구하는 데 새로운 대수적 프레임워크를 제공한다.