[논문 리뷰] New Quantum MDS codes constructed from Constacyclic codes

Liangdong Lü, Wenping Ma외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 히르미트 구성 방법을 통해 유한체 위의 상수순환 코드를 이용하여 새로운 양자 MDS 코드를 구축한다. 특정한 소수 거듭제곱 매개변수 $ q = 2am + t $ 와 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 의 형태를 활용함으로써, $ \frac{q}{2} + 1 $ 를 초과하는 최소 거리를 가진 양자 MDS 코드를 생성하며, 이들의 대부분은 이전 문헌에서 다루지 않은 새로운 것들이다.

ABSTRACT

Quantum maximum-distance-separable (MDS) codes are an important class of quantum codes. In this paper, using constacyclic codes and Hermitain construction, we construct some new quantum MDS codes of the form $q=2am+t$, $n=\frac{q^{2}+1}{a}$. Most of these quantum MDS codes are new in the sense that their parameters are not covered be the codes available in the literature.

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌을 초월하는 개선된 매개변수를 가진 새로운 양자 MDS 코드를 구축하는 것.
• 특정 $ q $ 와 $ a $ 에 대해 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 위의 이중 포함 상수순환 코드의 존재성을 탐색하는 것.
• 길이 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 인 상수순환 코드에 대해 히르미트 구성 방법을 확장하는 것.
• 순환 코스가 비대칭이 아닌 조건을 규명하여 $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ 를 보장하는 것.
• 특정 조건을 만족하는 $ [[n,k,d]]_q $ 양자 MDS 코드의 명시적 가닥을 제공하며, 이는 $ d > \frac{q}{2} + 1 $ 를 만족하고, $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 이며 $ a \mid (t^2 + 1) $ 이다.

제안 방법

• 히르미트 구성 방법을 활용: $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ 라면, $ [[n, 2k - n, \geq d]]_q $ 양자 코드가 존재한다.
• $ \mathbb{F}_{q^2} $ 위에서 길이 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 인 $ \eta $-상수순환 코드를 정의 집합 $ T = \bigcup_{i=0}^{\delta} C_{s + (q+1)i} $ 를 갖도록 구성한다.
• 정의 집합의 구조를 분석하고 비대칭 성질을 확인하기 위해 $ n $ 모듈로의 순환 코스를 활용한다.
• $ q = 2am + t $ 라는 조건을 부과하며, $ a \in \{13,17,25,29,37,41\} $ 이고 $ a \mid (t^2 + 1) $ 이다. 이를 통해 이중 포함 코드의 존재를 보장한다.
• 정의 집합 $ T $ 내에 비대칭 순환 코스가 존재하지 않음을 확인함으로써 $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ 를 보장한다.
• 양자 싱귤러리티 경계를 적용하여 MDS 성질을 확인하고, 매개변수 $ [[n, n - 2d + 2, d]]_q $ 를 유도하며, $ d $ 는 짝수이면서 지정된 범위 내에 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수순환 코드를 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 위에서 사용하여 이전에 알려진 것보다 더 큰 최소 거리를 가진 새로운 양자 MDS 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $ q = 2am + t $ 와 $ a $ 에 대한 어떤 조건에서 $ \eta $-상수순환 코드가 $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $ 를 만족하는가?
• RQ3 $ a \in \{13,17,25,29,37,41\} $ 인 경우 길이 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 의 양자 MDS 코드에서 달성 가능한 최대 최소 거리 $ d $ 는 얼마인가?
• RQ4 구성된 코드들이 대부분의 이전 양자 MDS 코드에서 관찰된 $ d \leq \frac{q}{2} + 1 $ 경계를 초과하는가?
• RQ5 매개변수 $ [[\frac{q^2 + 1}{a}, \frac{q^2 + 1}{a} - 2d + 2, d]]_q $ 를 가진 구성된 양자 MDS 코드들은 기존 문헌에서 다루지 않은 새로운 것으로 간주될 수 있는가?

주요 결과

• $ q = 26m + 5 $ 인 경우, $ 2 \leq d \leq 10m + 2 $ 이며 짝수인 $ [[\frac{q^2 + 1}{13}, \frac{q^2 + 1}{13} - 2d + 2, d]]_q $ 양자 MDS 코드의 가닥이 존재한다.
• $ q = 26m + 21 $ 인 경우, $ 2 \leq d \leq 10m + 8 $ 이며 짝수인 $ [[\frac{q^2 + 1}{13}, \frac{q^2 + 1}{13} - 2d + 2, d]]_q $ 양자 MDS 코드의 가닥이 존재한다.
• $ q = 34m + 13 $ 인 경우, $ 2 \leq d \leq 10m + 4 $ 이며 짝수인 $ [[\frac{q^2 + 1}{17}, \frac{q^2 + 1}{17} - 2d + 2, d]]_q $ 양자 MDS 코드의 가닥이 존재한다.
• $ q = 34m + 21 $ 인 경우, $ 2 \leq d \leq 10m + 6 $ 이며 짝수인 $ [[\frac{q^2 + 1}{17}, \frac{q^2 + 1}{17} - 2d + 2, d]]_q $ 양자 MDS 코드의 가닥이 존재한다.
• $ q = 50m + 7 $ 인 경우, $ 2 \leq d \leq 14m + 2 $ 이며 짝수인 $ [[\frac{q^2 + 1}{25}, \frac{q^2 + 1}{25} - 2d + 2, d]]_q $ 양자 MDS 코드의 가닥이 존재한다.
• $ q = 82m + 9 $ 인 경우, $ 2 \leq d \leq 18m + 2 $ 이며 짝수인 $ [[\frac{q^2 + 1}{41}, \frac{q^2 + 1}{41} - 2d + 2, d]]_q $ 양자 MDS 코드의 가닥이 존재하며, $ q = 82m + 73 $ 인 경우 $ 2 \leq d \leq 18m + 16 $ 이며 짝수이다.