[논문 리뷰] New Reductions and Nonlinear Systems for 2D Schrodinger Operators

P. G. Grinevich, А. Миронов외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 25.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 6인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2차원 슈뢰딩거 연산자를 위한 L-A-B 삼중체 기반으로 새로운 가역성 있는 (2+1)차원 비선형 체계를 제안하며, 버거스 방정식을 일반화하는 비표준 감소를 포함한다. 이 체계는 S=0 감소 하에서 선형화 가능하며, 블로흐-플로케트 다양체 내에서 복소대수곡선 위에 새로운代수기하학적 해를 제공한다. 주요 결과로는 비자기연산자에 대해 비자명한 정적 해가 존재함을 보여주며, 자기를 고려한 연산자에 대해서는 상수 에너지 수준 곡선만 존재할 것이라는 추측에 도전한다.

ABSTRACT

New Completely Integrable (2+1)-System is studied. It is based on the so-called L-A-B-triples $L_t=[H,L]-fL$ where L is a 2D Schrodinger Operator. This approach was invented by S.Manakov and B.Dubrovin, I.Krichever, S.Novikov(DKN) in the works published in 1976. A nonstandard reduction for the 2D Schrodinger Operator (completely different from the one found by S.Novikov and A.Veselov in 1984) compatible with time dynamics of the new Nonlinear System, is studied here. It can be naturally treated as a 2D extension of the famous Burgers System. The Algebro-Geometric (AG) Periodic Solutions here are very specific and unusual (for general and reduced cases). The reduced system is linearizable like Burgers. However, the general one (and probably the reduced one also) certainly lead in the stationary AG case to the nonstandard examples of algebraic curves $Γ\subset W$ in the full complex 2D manifold of Bloch-Floquet functions W for the periodic elliptic 2D operator H where $Hψ(x,y,P)=λ(P)ψ(x,y,P),P\in Γ$. However, in the nontrivial case the operators are nonselfadjoint. A Conjecture is formulated that for the nontrivial selfadjoint elliptic 2D Schrodinger operators H with periodic coefficients The Whole 2D Complex Manifolds W cannot not contain any Zariski open part of algebraic curve $Γ$ except maybe one selected level $Hψ=const$ found in 1976 by DKN. Version 2 contains new results. It also corrects some non-accurate claims; in particular, the non-reduced system is non-linearizable in any trivial sense. In version 3 a misprint in the formulation of Theorem 1 was corrected.

연구 동기 및 목표

• 2차원 슈뢰딩거 연산자를 위한 L-A-B 삼중체 기반으로 새로운 완전 가역성 (2+1)차원 체계의 클래스를 개발한다.
• 시간 역학과 호환되는 비표준 감소를 식별하고 연구하며, 이는 이전의 노빅로프-베셀로프 감소와 다름을 분명히 한다.
• 일반화된 체계에 대해 대수기하학적 주기적 해를 구성하고, 블로흐-플로케트 다양체 내에서 그 구조를 분석한다.
• 비자기연산자에 대해 전체 복소 블로흐-플로케트 다양체 $W$ 내에서 비자명한 대수곡선이 존재할 수 있는지 조사하며, 자기를 고려한 연산자에 대해 상수 에너지 수준 곡선만 존재할 것이라는 추측에 도전한다.

제안 방법

• L-A-B 삼중체의 체계: $L_t = [H,L] - fL$, 여기서 $L = \partial_x\partial_y + G\partial_y + S$, $H = \partial_x^2 + \partial_y^2 + F\partial_y + A$, $f = 2G_x - F_y$.
• 가환 조건 $G' = 0$를 사용하여 체계를 단순화하고, $F_x = 2G_y$, $A_y = 2S_x$의 미분 제약 조건 하에서 $G$, $S$, $F$, $A$의 진화 방정식을 유도한다.
• S=0 감소를 통해 $B_2$-체계를 도입하며, $G = -( abla \log c)_x$, $F = -2( abla \log c)_y$, $A = -2u_x$의 치환을 통해 선형화 가능함을 보인다.
• 비특이 대수곡선 $\Gamma'$ 위에서 지수적 점근 행동과 고정된 분해점 $D'$에서의 극을 가지는 대수기하학적 해 $\psi(x,y,t,P)$를 구성한다.
• 역스펙트럼 자료의 사용: 두 개의 무한점 $P_1, P_2$를 가지는 곡선 $\Gamma'$, 차수 $g'+k$의 일반적 분해점 $D'$, 그리고 정규화 조건 $\psi(0,0,0,P)=1$.
• 선형화된 $B_2$ 체계에 대해 핵심 방정식 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (\Phi(y,t) + A(x,t))c$를 유도하며, 이는 $y$-독립 해에 대해 유효하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 슈뢰딩거 연산자를 위한 L-A-B 삼중체를 사용하여 비자명한 시간 진화를 가지는 새로운 가역성 (2+1)차원 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 S=0 감소는 선형화 가능한 2차원 버거스 방정식의 확장이 되는가? 그리고 그 해의 구조는 어떠한가?
• RQ3 일반화된 체계의 정적 경우에 대해, 대수곡선 $\Gamma \subset W$ 위에 비자명한 대수기하학적 해가 존재할 수 있는가? 특히 연산자가 비자기일 경우에도 마찬가지인가?
• RQ4 자기를 고려한 2차원 타원형 연산자의 전체 복소 블로흐-플로케트 다양체 $W$ 내에서, DKN(1976)이 발견한 상수 에너지 수준 곡선 이외의 아핀 열린 부분을 가지는 대수곡선 $\Gamma$가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• $B_2$-체계는 S=0 감소에 의해 정의되며, 치환 $c = \exp(-\int G dx)$를 통해 선형화 가능하며, 방정식 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (\Phi(y,t) + A(x,t))c$를 도출한다.
• 감소된 체계는 $c = \sum_i c'_i(x,t) c''_i(y,t)$ 형태의 해를 가지며, 각 $c'_i$와 $c''_i$는 별개의 1차원 열 방정식을 만족하며, 이로 인해 $F$와 $G$는 비자명한 $c$-의존 계수를 갖는다.
• 비특이 곡선 $\Gamma'$ 위에서 지수적 행동을 보이며, 고정된 분해점 $D'$에서의 극을 가지는 대수기하학적 해 $\psi$는 $L\psi = 0$ 및 $(\partial_t - H)\psi = 0$를 만족한다.
• 정적 경우에 대해, $H\psi = \lambda\psi$ 이며 $\lambda \neq \text{const}$인 비자명한 대수곡선 $\Gamma' \subset W$의 예가 존재함을 보여주며, 이는 연산자가 비자기임에도 불구하고 성립한다.
• S ≠ 0 인 전체 체계는 어떤 의미에서도 비선형화 가능하지 않으며, 이는 감소된 $B_2$-체계와 다름을 분명히 한다.
• 비자명한 자기를 고려한 2차원 타원형 슈뢰딩거 연산자에 대해, $W$는 DKN의 상수 에너지 수준 곡선 이외의 어떤 대수곡선의 아핀 열린 부분도 포함할 수 없다는 추측을 제시한다.