[논문 리뷰] New reformulations for 0-1 quadratic programming problem using quadratic nonconvex reformulation techniques and valid inequalities

Cheng Lu, Fei Yu외 3명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 22.

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한 줄 요약

이 논문은 0-1 이차 프로그래밍에 대해 이차 비볼록 재구성(QNR)을 도입하고 이를 기존의 이차 볼록 재구성(QCR)과 비교하며 McCormick 경계를 강화하기 위해 유효 부등식을 도입한다.

ABSTRACT

It is well-known that the quadratic convex reformulation (QCR) technique can speed up some general-purpose solvers such as CPLEX and Gurobi. Recently, the method of quadratic nonconvex reformulation (QNR) was proposed, which provides an alternative way for accelerating a solver via reformulation technique. This paper proposes several new reformulations for 0-1 quadratic programming problems using the QNR technique. Such a technique provides more flexibility in adding nonconvex quadratic constraints into the problem formulation, so that some valid inequalities, such as the triangle inequalities, can be incorporated into the formulation to tighten the lower bound of the problem. We analyze the effects of the proposed reformulations on the lower bounds implemented in the solver, and propose some methods to maximize the McCormick relaxation bounds of the reformulations. Our numerical experiments compare the proposed reformulations with the existing quadratic convex reformulations, showing the effectiveness of the proposed reformulations on 0-1 quadratic programming problems.

연구 동기 및 목표

• Reformulation 기술을 사용한 0-1 이차 프로그래밍(BQP) 해결의 가속화를 동기화합니다.
• QNR 프레임워크를 도입하여 비볼록 이차 제약 조건이 하한 경계를 강화하도록 허용합니다.
• 삼각 부등식과 같은 유효 부등식을 도입하여 relaxations의 타이트니스를 더욱 개선합니다.
• 현대 솔버 내에서 McCormick Relaxation 경계에 대한 재구성의 영향을 분석합니다.
• 수치 실험을 통해 QNR 기반 재구성과 기존 QCR 접근 방식을 비교합니다.

제안 방법

• QCR 및 QCRE의 기존 이차 볼록 재구성과 이들의 SDP 및 SDP+RLT relaxations와의 연결을 검토합니다.
• 비볼록 항과 연결 제약 w ≥ x^T Z x를 갖는 간단한 QNR을 제안하고 McCormick relaxations로 relaxed하여 w ≥ Z•X로 표현합니다.
• g_t(x) ≤ 0를 통해 비볼록 유효 부등식을 추가하고 이를 모아서 경계를 강화하는 일반적인 QNRE/QAgg 재구성을 정의합니다.
• McCormick relaxation 경계를 극대화하기 위한 매개변수 최적화 프레임워크를 개발하고 SDP 형태로 λ*, Z*, γ*를 얻습니다.
• 확대 변수의 수를 줄이면서도 경계 품질을 유지하는 단순화된 QNRE-AGG 변형을 도입합니다.
• 삼각 부등식 기반 재구성(TRI)을 도출하여 SDP+RLT+TRI relaxations의 경계 강도에 맞출 수 있도록 합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Quadratic nonconvex reformulations(QNR)이 0-1 BQP에 대해 convex 재구성보다 더 타이트한 McCormick Relaxation 경계를 제공할 수 있는가?
• RQ2 삼각 부등식을 포함한 유효 부등식이 QNR 기반 재구성의 효용성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 QNR과 QCRE 재구성 사이의 변수 수와 계산 비용의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 QNR 기반 재구성이 SDP+RLT 기반 Relaxations와 비교할 만큼의 경계를 달성하는가?

주요 결과

• QNR 기반 재구성은 convex SDP+RLT relaxations와 유사한 고품질의 McCormick Relaxation 경계를 얻을 수 있다.
• QNR 재구성에 유효 부등식을 도입하면 하한을 강화하고 솔버 성능을 향상시킬 수 있다.
• QNR-AGG는 전체 QNR 재구성에 비해 보조 변수의 수를 줄이면서도 경계 품질을 유지한다.
• 삼각 부등식은 특정 QNRE-AGG 재구성이 SDP+RLT+TRI relaxations의 강도에 근접하도록 한다.
• 공개 BQP 인스턴스에 대해 QNR과 QCR 접근법을 비교하는 수치 실험이 있으며, 결과는 논문에 보고된다.