[논문 리뷰] New Results on Directed Edge Dominating Set

Rémy Belmonte, Tesshu Hanaka외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 방향 그래프에서 Directed (p, q)-Edge Dominating Set 문제에 대해 향상된 고정 매개변수 다항시간(FPT) 알고리즘과 다항식 커널을 제안하며, (0,1)-dEDS 및 (1,1)-dEDS의 경우 뚜렷한 런타임 향상이 이루어졌다. (p,q)-dEDS는 p+q+tw로 매개변수화할 경우 FPT임을 입증하였지만, 단순히 트리너비로만 매개변수화할 경우 W-하드임을 보였다. 토너먼트에서는 p와 q에 따라 문제의 복잡도가 P, quasi-polynomial 시간 내에서 해법 가능, 또는 NP-난이도(랜덤화된 감소를 통한)로 나뉘며, (p=q=1)인 경우에만 NP-난이도임을 규명하였다.

ABSTRACT

We study a family of generalizations of Edge Dominating Set on directed graphs called Directed (p,q)-Edge Dominating Set. In this problem an arc (u,v) is said to dominate itself, as well as all arcs which are at distance at most q from v, or at distance at most p to u. First, we give significantly improved FPT algorithms for the two most important cases of the problem, (0,1)-dEDS and (1,1)-dEDS (that correspond to versions of Dominating Set on line graphs), as well as polynomial kernels. We also improve the best-known approximation for these cases from logarithmic to constant. In addition, we show that (p,q)-dEDS is FPT parameterized by p+q+tw, but W-hard parameterized just by tw, where tw is the treewidth of the underlying graph of the input. We then go on to focus on the complexity of the problem on tournaments. Here, we provide a complete classification for every possible fixed value of p,q, which shows that the problem exhibits a surprising behavior, including cases which are in P; cases which are solvable in quasi-polynomial time but not in P; and a single case (p=q=1) which is NP-hard (under randomized reductions) and cannot be solved in sub-exponential time, under standard assumptions.

연구 동기 및 목표

• 기존 Hanaka 등(2019)의 25^10k bound를 초월해 (0,1)-dEDS 및 (1,1)-dEDS에 대한 FPT 알고리즘과 근사 비율을 향상시키기.
• (p,q)-dEDS의 매개변수화 복잡도를 트리너비와 p+q에 대해 분류하기.
• 모든 고정된 p, q 값에 대해 토너먼트에서 (p,q)-dEDS의 정확한 복잡도를 규명하기.
• (0,1)-dEDS 및 (1,1)-dEDS에 대해 다항식 커널의 존재성을 확립하고, 다른 경우의 W-하드성을 보여주기.

제안 방법

• 기존의 25^10k bound를 초월해 (0,1)-dEDS와 (1,1)-dEDS에 각각 2^k 및 9^k FPT 알고리즘을 달성하기 위해 새로운 분기 전략을 제안.
• p+q+tw로 매개변수화할 경우 FPT임을 보이기 위해 구조적 그래프 이론과 트리 분해에서의 동적 프로그래밍을 활용.
• max{p,q} = 2 이고 p,q ≠ 1 인 경우에 대해 작은 정점 부분집합에 대한 완전 탐색을 적용해 quasi-polynomial 시간 내에 (p,q)-dEDS를 해결.
• 토너먼트에서의 왕 정점 성질과 강한 연결성 분해을 활용해 다항식 시간 알고리즘을 유도.
• p > q일 경우 방향을 뒤집음으로써 (p,q)-dEDS 문제를 (q,p)-dEDS 문제로 감소시켜 대칭성을 활용.
• (0,1)-dEDS 및 (1,1)-dEDS에 대해 감소 규칙과 커널화 기법을 활용해 다항식 커널을 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hanaka 등(2019)의 25^10k bound를 초월해 (0,1)-dEDS 및 (1,1)-dEDS에 대한 FPT 알고리즘을 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 (0,1)-dEDS 및 (1,1)-dEDS에 대해 다항식 커널이 가능할까? 그리고 p+q가 작을 경우 매개변수화 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ3 p+q+tw로 매개변수화할 경우 (p,q)-dEDS는 FPT인가? 트리너비만으로 매개변수화할 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 모든 고정된 p,q 값에 대해 토너먼트에서 (p,q)-dEDS의 정확한 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 왜 토너먼트에서 (p=q=1)-dEDS만이 유일하게 NP-난이도이며, P, quasi-polynomial, NP-난이도 사이의 이분화 현상은 무엇에 기인하는가?

주요 결과

• 논문은 (0,1)-dEDS에 대해 기존 Hanaka 등(2019)의 25^10k bound를 초월해 2^k FPT 알고리즘을 제시한다.
• 기존 25^10k bound를 크게 향상시켜 (1,1)-dEDS에 대해 9^k FPT 알고리즘을 제공한다.
• (0,1)-dEDS와 (1,1)-dEDS에 대해 각각 O(k) 및 O(k^2) 크기의 다항식 커널이 확립되었다.
• (1,1)-dEDS에 대해 8-근사 알고리즘을 제시하였으며, Hanaka 등(2019)의 O(log n)-근사보다 향상된 성능을 보였다.
• (0,1)-dEDS에 대해 3-근사 알고리즘을 제시하였으며, 이는 이전의 로그 단위 근사보다 개선된 결과이다.
• 토너먼트에서는 p+q ≤1 이거나 max{p,q} ≥3 이고 2 ∉{p,q}일 경우 (p,q)-dEDS는 P에 속하며, max{p,q}=2 이고 p,q ≠1일 경우 quasi-polynomial 시간 내에 해결 가능하고, p=q=1일 경우에만 NP-난이도(랜덤화된 감소를 통한)이다.