[논문 리뷰] New results on noncompact harmonic manifolds

Gerhard Knieper|ArXiv.org|2009. 10. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단순연결되고 비콤파クト하며 비평탄한 조화다양체에서 순수 지수적 체적 성장, 랭크 일, Gromov 초구형성, 그리고 Anosov 지오데식 흐름이 모두 동치임을 증명한다. 또한, 초점점이 없는 비평탄한 조화다양체에서 지오데식 흐름이 Anosov임을 추가로 증명하여, 이러한 성질을 갖는 콤팩트 조화다양체에 대한 Lichnerowicz 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The Lichnerowicz conjecture asserts that all harmonic manifolds are either flat or locally symmetric spaces of rank~1. This conjecture has been proved by Z. Szabó \cite{Sz} for harmonic manifolds with compact universal cover. E. Damek and F. Ricci \cite{DR} provided examples showing that in the noncompact case the conjecture is wrong. However, such manifolds do not admit a compact quotient. In this paper we study, using a notion of rank, the asymptotic geometry and the geodesic flow on simply connected nonflat and noncompact harmonic manifolds denoted by $X$. In the first part of the paper we show that the following assertions are equivalent. The volume growth is purely exponential, the rank of $X$ is one, the geodesic flow is Anosov with respect to the Sasaki metric, $X$ is Gromov hyperbolic. In the second part of the paper we show that the geodesic flow is Anosov if $X$ is a nonflat harmonic manifold with no focal points. In the course of the proof we obtain that certain partially hyperbolic flows on arbitrary Riemannian manifolds without focal points are Anosov, which is of interest beyond harmonic manifolds. Combining the results of this paper with the rigidity theorem's of \cite{BCG}, \cite{BFL} and \cite{FL}, we confirm the Lichnerowicz conjecture for all compact harmonic manifolds without focal points or with Gromov hyperbolic fundamental groups.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 조화다양체에 대한 Lichnerowicz 추측을 해결하기 위해, 그들이 국소적으로 대칭이어야 하는 조건을 규명하는 것.
• 비콤파クト하고 단순연결이며 비평탄한 조화다양체에서의 점근기하학과 지오데식 흐름을 조사하는 것.
• 랭크와 수평표면의 평균곡률이 체적 성장 행동을 결정하는 데서의 역할을 명확히 하는 것.
• 초점점이 없는 조화다양체에서 지오데식 흐름이 Anosov임을 증명하여 대칭공간을 초월한 일반화를 이루는 것.

제안 방법

• 공액점이 없는 다양체에 대해 고전적인 랭크 개념을 비음성 곡률 공간으로부터 확장한 일반화된 랭크 개념을 도입하는 것.
• 지오데식 간격의 행동을 곡률과 체적 성장과 연결하기 위해, 지오데식을 沿해 진화하는 대칭 텐서를 통해 자코비 텐서 분석을 사용하는 것.
• 지오데식 흐름을 연구하기 위해 Sasaki 계량을 적용하고, Anosov 성질이 랭크 일과 순수 지수적 체적 성장과 동치임을 증명하는 것.
• 이식성과 유계 곡률 조건을 활용하여, 초점점이 없는 다양체에서 지오데식 흐름이 부분적으로 초구형임을 보이고, 기하적 추론을 통해 완전한 Anosov 성질을 증명하는 것.
• Besson-Courtois-Gallot 및 Benoist-Foulon-Labourie의 고정성 정리 결과들과 결합하여, Gromov 초구형 fundamental group 또는 초점점이 없는 조건을 갖는 콤팩트 조화다양체에서 국소 대칭성을 도출하는 것.
• 안정 및 불안정 자코비 텐서의 Wronskian을 사용하여, 흐름의 도함수와 곡률 및 기하학 간의 항등식을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤파クト하고 단순연결이며 비평탄한 조화다양체에서 순수 지수적 체적 성장, 랭크 일, Gromov 초구형성, 그리고 Anosov 지오데식 흐름은 동치인가?
• RQ2 조화다양체에서 초점점이 없으면 그 지오데식 흐름이 Anosov인가?
• RQ3 초점점이 없거나 Gromov 초구형 fundamental group을 갖는 콤팩트 조화다양체에 대해 Lichnerowicz 추측을 확인할 수 있는가?
• RQ4 비콤파クト 조화다양체에서 수평표면의 평균곡률과 체적 성장률 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 초점점이 없는 조화다양체의 랭크는 일정한가, 그리고 이는 Anosov 역학을 암시하는가?

주요 결과

• 비콤파クト하고 단순연결하며 비평탄한 조화다양체에서 다음은 모두 동치이다: 순수 지수적 체적 성장, 랭크 일, Gromov 초구형성, 그리고 Anosov 지오데식 흐름.
• 조화다양체가 초점점을 갖지 않으면 지오데식 흐름은 Anosov이며, 이는 대칭공간을 초월한 Anosov 성질의 일반화이다.
• 모든 초점점이 없는 조화다양체는 일정한 랭크를 가지며, 홀수 차원에서는 이 랭크가 반드시 일이다.
• 초점점이 없는 조화다양체가 콤팩트 몫을 갖는다면, 반드시 일정한 음의 곡률을 가져야 한다.
• 유계 곡률과 이식성 조건을 만족하는, 초점점이 없고 일정한 랭크를 갖는 임의의 리만다양체에서 지오데식 흐름은 Anosov이다.
• 이러한 결과들을 이전의 고정성 정리들과 결합하면, Gromov 초구형 fundamental group 또는 초점점이 없는 모든 콤팩트 조화다양체에 대해 Lichnerowicz 추측이 확인된다.