[논문 리뷰] New Results on Quantum Property Testing

Sourav Chakraborty, Eldar Fischer외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고전적 방법에 비해 상당한 속도 향상을 이룬 성질 테스팅을 위한 양자 알고리즘을 제시한다. 알려진 분포와 비교하기 위해 오라클 쿼리를 통해 알 수 없는 분포를 테스트하는 데 사용할 수 있는 양자 테스터를 도입하였으며, 고전적 방법의 $ \sqrt{m} $ 복잡도에 비해 오직 $ m^{1/3} $ 쿼리로도 충분하다는 점을 입증하였다. 이는 거의 최적임을 보여준다. 또한, 셔어의 알고리즘을 활용한 주기성 테스팅에서 양자적 상수-비례 복잡도와 고전적 $ n^{1/4} $ 쿼리 복잡도 간의 대비을 보이며, 상당한 양자적 속도 향상을 보인다.

ABSTRACT

We present several new examples of speed-ups obtainable by quantum algorithms in the context of property testing. First, motivated by sampling algorithms, we consider probability distributions given in the form of an oracle $f:[n] o[m]$. Here the probability $\PP_f(j)$ of an outcome $j\in[m]$ is the fraction of its domain that $f$ maps to $j$. We give quantum algorithms for testing whether two such distributions are identical or $ε$-far in $L_1$-norm. Recently, Bravyi, Hassidim, and Harrow \cite{BHH10} showed that if $\PP_f$ and $\PP_g$ are both unknown (i.e., given by oracles $f$ and $g$), then this testing can be done in roughly $\sqrt{m}$ quantum queries to the functions. We consider the case where the second distribution is known, and show that testing can be done with roughly $m^{1/3}$ quantum queries, which we prove to be essentially optimal. In contrast, it is known that classical testing algorithms need about $m^{2/3}$ queries in the unknown-unknown case and about $\sqrt{m}$ queries in the known-unknown case. Based on this result, we also reduce the query complexity of graph isomorphism testers with quantum oracle access. While those examples provide polynomial quantum speed-ups, our third example gives a much larger improvement (constant quantum queries vs polynomial classical queries) for the problem of testing periodicity, based on Shor's algorithm and a modification of a classical lower bound by Lachish and Newman \cite{lachish&newman:periodicity}. This provides an alternative to a recent constant-vs-polynomial speed-up due to Aaronson \cite{aaronson:bqpph}.

연구 동기 및 목표

• 성질 테스팅에서 쿼리 복잡도를 개선하는 양자 알고리즘을 개발함으로써, 특히 분포 테스팅과 주기성 탐지에 초점을 맞춘다.
• 고전적 방법이 상당히 다를 수 있는 양자 모델에서 알려진-알 수 없는 분포 테스팅과 알 수 없는-알 수 없는 분포 테스팅 간의 격차를 메운다.
• 주기성 테스팅에서 큰 양자적 속도 향상을 보이며, 상수 쿼리 복잡도 대비 다항식 고전적 복잡도를 입증한다.
• 분포 테스팅과 재구성에 대한 양자 하한을 설정하여 제안된 양자 알고리즘의 최적성을 입증한다.

제안 방법

• 기존의 양자 서브루틴—특히 앰플리튜드 강화와 근사 카운팅—을 고전적 테스팅 프레임워크 내에서 빌딩 블록으로 사용한다.
• 요소들을 빈도별로 그룹화하는 버킷 기법을 적용하여 분포 매개변수의 효율적 양자 추정을 가능하게 한다.
• 라히시와 뉴먼의 고전적 하한을 수정하여 알려진-알 수 없는 분포 테스팅에 대해 $ \Omega(m^{1/3}) $ 의 양자 쿼리 하한을 증명한다.
• 주기성을 탐지하기 위해 셔어의 알고리즘을 활용하여 $ O(1) $ 양자 쿼리로 충분함을 보이며, 주기성을 식별하기 위해 양자 푸리에 샘플링을 활용한다.
• 소수 정리와 확률적 분석을 사용하여 고전 알고리즘에 대한 어려운 인스턴스를 구성함으로써, $ o(\sqrt{r/\log r \log n}) $ 쿼리로는 주기적과 비주기적 함수를 높은 확률로 구분할 수 없음을 입증한다.
• 균일 및 구조화된 사전 분포 하에서의 쿼리 분포를 분석하여 변동 거리의 경계를 설정하고, 제한된 쿼리 액세스 조건 하에서 분포의 구분 불가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 다항식 향상 외에도 초다항식 속도 향상을 성질 테스팅에서 달성할 수 있는가?
• RQ2 알려진 분포와 오라클을 통해 접근 가능한 알 수 없는 분포 간의 유사성 테스팅에 대해 최적의 양자 쿼리 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 양자 알고리즘이 주기성 테스팅에서 상수 쿼리 복잡도를 달성할 수 있으며, 이는 고전적 하한과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 알려진-알 수 없는 분포 테스팅 문제는 양자 모델에서 알 수 없는-알 수 없는 경우만큼 효율적으로 해결될 수 있는가?

주요 결과

• 알 수 없는 분포와 알려진 분포 간의 유사성 테스팅에 대한 양자 쿼리 복잡도는 $ O(m^{1/3}) $ 이며, 이는 $ \Omega(m^{1/3}) $ 의 양자 하한을 통해 거의 최적임을 입증하였다.
• 반면 고전적 알고리즘은 알려진-알 수 없는 경우에 $ \Theta(\sqrt{m}) $ 쿼리가 필요하며, 이는 다항식 양자 속도 향상을 보여준다.
• 주기성 테스팅의 경우, 셔어의 알고리즘을 활용한 양자 알고리즘은 오직 $ O(1) $ 쿼리로 충분하며, 고전적 알고리즘은 $ \Omega(n^{1/4}) $ 쿼리가 필요하여 상수-비례 대비 다항식 복잡도의 속도 향상을 보였다.
• 논문은 고전적 모델에서 알려진-알 수 없는 경우가 알 수 없는-알 수 없는 경우보다 엄격히 더 쉽다는 점을 입증하였으며(각각 $ \sqrt{m} $ 대비 $ m^{2/3} $), 그러나 양자 알고리즘이 이 복잡도 격차를 메울 수 있음을 보였다.
• 알려진-알 수 없는 분포 테스팅에 대해 $ \Omega(m^{1/3}) $ 의 양자 하한을 입증하였으며, 이는 상한과 일치하여 최적성을 확인하였다.
• 결과는 그래프 이somorphism 테스팅으로 확장되며, 양자 오라클 액세스가 가능한 경우 쿼리 복잡도를 감소시킨다. 이는 새로운 분포 테스팅 도구를 활용함으로써 가능해졌다.