[논문 리뷰] New Results on the Sum of Gamma Random Variates With Application to the Performance of Wireless Communication Systems over Nakagami-m Fading Channels

Imran Shafique Ansari, Ferkan Yılmaz외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 12.

Advanced Wireless Communication Techniques인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 메이저의 G 함수와 포크의 H 함수를 사용하여 독립적이고 동일하지 않은 분포를 가진 감마 난수 변수들의 합—즉, 나카가미-m fading 환경의 제곱합에 해당하는—확률밀도함수(PDF)와 누적분포함수(CDF)에 대한 새로운 폐쇄형 표현을 제시한다. 또한 나카가미-m fading에서 L-브랜치 최대비율합성(MRC) 다중화 시스템에 대한 이진 변조 방식의 정확한 폐쇄형 비트 오류율(BER) 표현을 유도하여 무한급수나 반복적 방법에 비해 계산 효율성이 높은 대안을 제공한다.

ABSTRACT

The probability density function (PDF) and cumulative distribution function of the sum of L independent but not necessarily identically distributed Gamma variates, applicable to the output statistics of maximal ratio combining (MRC) receiver operating over Nakagami-m fading channels or in other words to the statistical analysis of the scenario where the sum of squared Nakagami-m distributions are user-of-interest, is presented in closed-form in terms of well-known Meijer's G function and easily computable Fox's H-bar function for integer valued and non-integer valued m fading parameters. Further analysis, particularly on bit error rate via a PDF-based approach is also offered in closed form in terms of Meijer's G function and Fox's H-bar function for integer valued fading parameters, and extended Fox's H-bar function (H-hat) for non-integer valued fading parameters. Our proposed results complement previous known results that are either expressed in terms of infinite sums, nested sums, or higher order derivatives of the fading parameter m.

연구 동기 및 목표

• 나카가미-m 페이딩 채널에서 MRC 다중화 조합에 관련된 독립적이고 동일하지 않은 분포를 가진 감마 변수들의 합에 대한 폐쇄형 통계 표현을 유도하는 것.
• 기존 결과가 무한급수, 중첩된 합, 또는 페이딩 파rameter m의 고차수 도함수로 표현되어 계산 효율성이 떨어지는 문제를 해결하는 것.
• 임의의 페이딩 심각도를 가진 나카가미-m 페이딩에서 L-브랜치 MRC 시스템에 대한 이진 변조 방식에 대한 정확한 분석 가능 BER 표현을 제공하는 것.
• 확장된 포크의 H 함수(Ĥ)를 사용하여 비정수 m 값으로의 일반화를 가능하게 하여 실질적인 페이딩 시나리오에 광범위하게 적용 가능하도록 분석 도구를 확장하는 것.
• 다양한 페이딩 심도와 채널 불균형이 시스템 성능에 미치는 영향을 수치적 결과를 통해 검증하는 것.

제안 방법

• 정수 m에 대해서는 메이저의 G 함수를, 비정수 m에 대해서는 포크의 H 함수(H̄)를 사용하여 i.n.i.i.d. 감마 변수들의 합의 PDF와 CDF를 유도한다.
• 이진 변조에 대한 비트 오류율(BER)을 계산하기 위해 PDF 기반 접근법을 적용하며, 정수 m에 대해서는 메이저의 G 함수로, 비정수 m에 대해서는 확장된 포크의 H 함수(Ĥ)로 표현한다.
• 밀린-바너스 적분 표현을 활용하여 유도된 함수를 수치 계산에 적합한 형태로 표현한다.
• 특수 함수 항등식과 경로 적분 기법을 활용하여 수렴성과 계산 가능성을 보장한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 분석 결과를 검증하고, 다양한 변조 방식과 페이딩 파rameter에서의 BER 성능을 비교한다.
• 유도된 표현을 실용적으로 계산하기 위해 확장된 포크의 H 함수(Ĥ)에 대한 매스매티카® 구현을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 및 비정수 나카가미-m 페이딩 파rameter에 대해 i.n.i.i.d. 감마 변수들의 합의 PDF와 CDF를 폐쇄형으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 이산적 특수 함수를 사용하여 나카가미-m 페이딩에서 L-브랜치 MRC 다중화 시스템에 대한 이진 변조의 BER을 폐쇄형으로 유도할 수 있는가?
• RQ3 기존의 무한급수나 반복 도함수 기반 방법과 비교해 볼 때, 제안된 표현의 계산 효율성과 정확도는 어떠한가?
• RQ4 페이딩 심도(m)와 채널 불균형은 MRC 시스템의 BER 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 확장된 포크의 H 함수(Ĥ)는 실질적인 무선 시스템에서 비정수 m 값으로의 결과 일반화에 효과적으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 정수 m에 대해서는 메이저의 G 함수를, 비정수 m에 대해서는 포크의 H̄ 함수를 사용하여 i.n.i.i.d. 감마 변수들의 합의 PDF와 CDF를 폐쇄형으로 유도하였으며, 이는 무한급수나 중첩된 합에 비해 상당한 단순화를 이룬다.
• 나카가미-m 페이딩에서 L-브랜치 MRC에 대한 이진 변조의 BER은 정수 m에 대해서는 메이저의 G 함수로, 비정수 m에 대해서는 확장된 포크의 H 함수(Ĥ)로 폐쇄형으로 표현되어 정확한 성능 평가가 가능해졌다.
• 수치적 결과는 분석 표현의 정확성을 확인하였으며, 시뮬레이션과 분석적 BER 곡선이 완벽하게 일치함을 보여주었고, 그 예로 L=5 및 m1=0.6, m2=1.1, m3=2, m4=3.4, m5=4.5인 경우 그림 6에서 명확히 나타났다.
• CBPSK는 이중 변조 방식 중에서 가장 우수한 성능를 보였고, 이어 일관된 FSK와 BPSK가 뒤를 이었으며, 비일관성 및 차등적 방식은 예상대로 더 높은 오류율을 보였다.
• 제안된 프레임워크는 수치적 적분이나 반복 알고리즘에 의존하지 않고도 시스템 성능 지표를 효율적으로 계산할 수 있게 하여 계산 효율성을 크게 향상시켰다.
• 확장된 포크의 H 함수(Ĥ)에 대한 매스매티카® 구현이 제공되어 유도된 표현의 실용적 구현과 검증을 용이하게 하였다.