[논문 리뷰] New SAV-pressure correction methods for the Navier-Stokes equations: stability and error analysis

Xiaoli Li, Jie Shen외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 21.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 34인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 보조 변수(SAV) 접근법을 사용하여 라우-스-플랑크 방정식에 대한 새로운 일阶 및 이阶 압력 보정 스킴을 제안한다. 이 스킴들은 선형이며 분리 가능하고, 조건 없이 에너지 안정적이며, 시간 스텝 제약 없이 최적의 오차 추정치를 달성한다. 이는 라우-스-플랑크 방정식에 대해 명시적인 비선형 항과 조건 없이 에너지 안정성을 동시에 확보한 최초의 방법들이다.

ABSTRACT

We construct new first- and second-order pressure correction schemes using the scalar auxiliary variable (SAV) approach for the Navier-Stokes equations. These schemes are linear, decoupled and only require a sequence of solving Poisson type equations at each time step. Furthermore, they are unconditionally energy stable. We also establish rigorous error estimates for the velocity and pressure approximation of the first-order scheme without any condition on the time step.

연구 동기 및 목표

• 압축성 없는 라우-스-플랑크 방정식을 위한 조건 없이 에너지 안정적이고 선형적이며 분리 가능한 시간 이산화 스킴을 개발하기.
• 기존의 SAV 기반 스킴에서의 불안정성과 비선형 대수 방정식 문제를 해결하기 위해 압력 보정 전략을 도입하기.
• 시간 스텝 제약 없이 첫 번째 스킴에 대한 엄밀한 오차 추정치를 확립하기.
• 두 번째 스킴에 대해 SAV 접근법을 확장하여 조건 없이 에너지 안정성을 확보한 이阶 압력 보정 스킴을 제안하기.
• 압축성 유동의 장기 시뮬레이션을 위한 강력하고 효율적이며 안정적인 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 속도와 압력 해를 푸아송 유형 방정식으로 분리하는 SAV 접근법을 사용한 일阶 압력 보정 스킴을 수립하기.
• 시간에 대해 이계 정확도를 확보하기 위해 회전형 압력 보정 공식을 도입하기.
• 비선형 대류 항을 명시적으로 처리하면서도 에너지 안정성을 유지하기 위해 스칼라 보조 변수를 사용하기.
• 효율성을 위해 각 시간 스텝에서 상수 계수 푸아송 방정식만을 포함하는 선형 시스템을 구성하기.
• 조건 없이 에너지 안정성을 도출하기 위해 수정된 에너지 기능을 적용하기.
• 속도와 압력 갱신을 분리하기 위해 프로젝션 유형 전략을 적용하여, 안장점 문제를 피하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 항을 명시적으로 처리하면서도 선형적이며 분리 가능하고 조건 없이 에너지 안정적인 스킴을 라우-스-플랑크 방정식에 대해 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 압력 보정 공식이 SAV 기반 스킴에서 비선형 대수 방정식을 풀 필요성을 제거하는가?
• RQ3 시간 스텝 제약 없이 첫 번째 SAV-압력 보정 스킴에 대해 최적의 오차 추정치를 유도할 수 있는가?
• RQ4 이계 SAV-압력 보정 스킴에서도 조건 없이 에너지 안정성이 유지되는가?
• RQ5 회전형 압력 보정 공식은 표준 프로젝션 방법에 비해 정확도와 안정성에서 어떻게 향상되는가?

주요 결과

• 일계 SAV-압력 보정 스킴은 속도와 압력에 대해 시간에 대해 1차 수준의 최적 수렴 속도를 달성하며, 시간 스텝에 제약이 없다.
• 이계 스킴은 압력에 대해 $L^2$ 노름에서 거의 이계 정확도를 보이며, 속도와 SAV 변수에 대해 $L^\frown{\infty}$ 노름에서 이계 정확도를 확보한다.
• 스킴들은 조건 없이 에너지 안정적이며, 시간 스텝 크기와 무관하게 에너지 소산 특성을 유지한다.
• 새로운 스킴들은 각 시간 스텝에서 비선형 대수 방정식을 풀 필요가 없어지며, 수치적 안정성과 효율성이 향상된다.
• 수치 결과는 예제 1과 예제 2 모두에서 이론적 예측과 일치하는 오차와 수렴 속도를 도출함을 확인한다.
• 제안된 방법은 압력 보정에 의한 선형화와 분리 덕분에 이전의 SAV 스킴에 비해 훨씬 뛰어난 안정성과 정확도를 확보한다.