[논문 리뷰] New series for some special values of $L$-functions

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 20.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 19인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 특수 L함수와 제타함수의 값에 대한 48개의 새로운 추측적 급수를 제시하며, 주로 중심 이항계수, 조화수, 디리클레 특성함수를 포함한다. 합동에 대한 변환 정리와 광범위한 수치 계산을 통해 빠르게 수렴하는 급수, 예를 들어 $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^4\binom{2k}{k}}\left(\frac{1}{k}+\sum_{j=k}^{2k}\frac{1}{j}\right) = \frac{11}{9}\zeta(5)$를 제안하며, 다중 제타값과 특수 L값을 평가하는 데 새로운 길을 열어 놓는다.

ABSTRACT

Dirichlet's $L$-functions are natural extensions of the Riemann zeta function. In this paper we first give a brief survey of Apéry-like series for some special values of the zeta function and certain $L$-functions. Then, we establish two theorems on transformations of certain kinds of congruences. Motivated by the results and based on our computation, we pose 48 new conjectural series (most of which involve harmonic numbers) for such special values and related constants. For example, we conjecture that \begin{align*}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4\binom{2k}k}\bigg(\frac1k+\sum_{j=k}^{2k}\frac1j\bigg)=&\frac{11}9ζ(5), \\\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^3\binom{2k}k}\bigg(\frac1{5k^3}+\sum_{j=1}^{k}\frac1{j^3}\bigg)=&\frac{2}5ζ(3)^2, \end{align*} and $$\sum_{k=1}^\infty\frac{48^k}{k(2k-1)\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}=\frac{15}2\sum_{k=1}^\infty\frac{(\frac k3)}{k^2},$$ where $(\frac k3)$ denotes the Legendre symbol.

연구 동기 및 목표

• 모듈로 $p^2$ 및 $p$에 대한 합동의 새로운 변환을 통해 리만 제타함수와 디리클레 L함수의 특수값을 위한 아페리 유사 급수를 확장한다.
• $\zeta(3)$, $\zeta(4)$, $\zeta(5)$, $\zeta(6)$ 및 관련 상수에 대한 새로운 빠르게 수렴하는 급수를 규명한다.
• L함수 값에 대한 추측을 제시하며, 조화수의 순서 $m$, 중심 이항계수, 레이지드르 부호를 포함한다.
• 이러한 추측적 항등식에 대한 향후 증명을 위한 계산적 및 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 특정 유형의 합동에 대한 변환 정리를 유도하며, 특히 중심 이항계수와 조화합을 포함한 모듈로 $p^2$ 및 $p$에 대해 다룬다.
• 수치 계산을 적용하여 패턴을 식별하고 특수 L값 및 제타값에 대한 새로운 급수를 추측한다.
• 산술역함수 $\arcsin^n(x/2)$와 그 도함수의 알려진 생성함수를 활용하여 조화수 합을 포함한 급수를 연결한다.
• 계산적 힌트를 통해 PSLQ 알고리즘을 암묵적으로 활용하여 급수 항등식 내의 정수관계를 발견한다.
• 일반화된 조화수 합 $H_k^{(m)}$ 및 $H_k^{(m)}(a)$를 도입하여 급수 표현에서 부분합을 기술한다.
• 베르누이 수와 레이지드르 부호를 사용하여 부분합의 $p$-진 성질을 분석하여 추측을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조화수의 구조를 활용하여 $\zeta(5)$, $\zeta(3)^2$ 및 기타 특수 L값에 대한 새로운 빠르게 수렴하는 급수를 발견할 수 있는가?
• RQ2 중심 이항계수와 레이지드르 부호는 L함수 및 다중 제타값에 대한 항등식을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 모듈로 $p^2$ 및 $p$에 대한 합동의 변환은 무한급수 내에서 더 깊은 산술적 구조를 어떻게 드러내는가?
• RQ4 아페리 유사 급수의 구조는 중첩된 조화수 합과 교대 부호를 포함하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ5 $\sum_{j=0}^k \frac{1}{(2j+1)^m}$을 포함하는 급수와 $\pi$, $\zeta(3)$, $G$, $\beta(4)$와 같은 알려진 상수 사이의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 급수 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4\binom{2k}{k}}\left(\frac{1}{k}+\sum_{j=k}^{2k}\frac{1}{j}\right)$는 $\frac{11}{9}\zeta(5)$와 같다고 추측되며, 이는 $\zeta(5)$의 새로운 표현을 제공한다.
• 항등식 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^3\binom{2k}{k}}\left(\frac{1}{5k^3}+\sum_{j=1}^k\frac{1}{j^3}\right) = \frac{2}{5}\zeta(3)^2$는 새로운 이중 제타값 급수로 제안된다.
• 급수 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{48^k}{k(2k-1)\binom{4k}{2k}\binom{2k}{k}}$는 $\frac{15}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\frac{k}{3})}{k^2}$와 같다고 추측되며, 중심 이항계수와 디리클레 L함수를 연결한다.
• 추측 5.2(i)는 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)16^k}\left(12\sum_{j=0}^k\frac{(-1)^j}{(2j+1)^2}-\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right) = 4\pi G$를 제시하며, 이는 급수를 카탈란 상수 $G$와 연결한다.
• 추측 5.3(i)는 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)16^k}\left(8\sum_{j=0}^k\frac{(-1)^j}{(2j+1)^4}+\frac{(-1)^k}{(2k+1)^4}\right) = \frac{11}{120}\pi^2\zeta(3)+\frac{8}{3}\pi\beta(4)$를 제안하며, $\beta(4)$와 관련된다.
• $p$-진 합동 $\sum_{k=0}^{(p-3)/2}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)^2(-16)^k}\left(5\sum_{j=0}^k\frac{1}{(2j+1)^3}+\frac{1}{(2k+1)^3}\right) \equiv \frac{B_{p-5}}{8} \pmod{p}$는 산술적 성질을 통해 추측된 항등식을 지지한다.