[논문 리뷰] New some Hadamard's type inequalities for co-ordinated convex functions

Mehmet Zeki Sarıkaya, Erhan Set외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 05.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 3인용 수 108

한 줄 요약

이 논문은 두 변수에 대한 좌표형 볼록 함수에 대해 제2차 편도함수를 포함하는 적분 항등식을 유도하고 헬더 부등식을 적용하여 새로운 하다르드형 부등식을 수립한다. 주요 기여는 혼합 제2차 편도함수의 Lq노름을 이용해 모서리에서의 함수 값 평균과 이중 적분 평균의 차이에 대해 날카운 오차 한계를 제시하는 것으로, p > 1일 경우 기존 추정치를 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we establish new some Hermite-Hadamard's type inequalities of convex functions of 2-variables on the co-ordinates.

연구 동기 및 목표

• R² 내 직사각형에서 두 변수의 좌표형 볼록 함수에 대해 헤르미트-하담르드형 부등식을 확장한다.
• 개선된 추정을 위해 혼합 제2차 편도함수를 포함하는 새로운 적분 항등식을 유도한다.
• Lq노름을 이용해 모서리 값의 평균과 이중 적분 평균의 차이에 대해 더 날카운 오차 한계를 수립한다.
• 특히 p > 1일 경우에 대해 다양한 p-노름 조건 하에서의 추정치를 비교함으로써 기존 부등식을 정교화한다.
• 대칭적 적분과 헬더 부등식을 활용하여 이전 결과보다 더 날카로운 추정치를 제공한다.

제안 방법

• [0,1]×[0,1]에서 혼합 편도함수 ∂²f/∂t∂s에 대해 부분적분을 사용하여 적분 항등식을 유도한다.
• 오차 항의 L1노름을 혼합 편도함수의 Lq노름에 따라 bound하기 위해 헬더 부등식을 적용한다.
• 상쇄 효과를 극대화하고 추정 정확도를 향상시키기 위해 대칭적 가중함수 (1−2t)(1−2s)를 사용한다.
• 오차 한계를 모서리 (a,c), (a,d), (b,c), (b,d)에서 혼합 편도함수의 절대값의 조합으로 표현한다.
• s = 1/2에서 적분을 분할하여 |1−2s|의 절대값을 처리함으로써 결과 식의 정확한 평가를 가능하게 한다.
• 유도된 오차 추정치를 이전의 추정치와 비교하여, p > 1일 경우 (p+1)^(-2/p) < 1 인 요소로 인해 개선됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 변수의 좌표형 볼록 함수에 대해 헤르미트-하담르드 부등식에 대해 더 날카운 오차 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ2 혼합 편도함수의 Lq노름은 이중 적분 평균과 모서리 값 평균의 차이 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 가중함수 (1−2t)(1−2s)의 대칭성은 오차 한계 향상에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 특히 Lp 프레임워크에서 p > 1일 경우, 새로운 한계가 기존 것보다 더 날카운가?
• RQ5 제2차 도함수를 포함하는 적분 항등식은 이전의 좌표형 볼록 함수에 관한 결과들을 통합하거나 일반화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 모서리 값의 평균과 이중 적분 평균의 차이를 혼합 제2차 편도함수의 가중적분으로 표현하는 새로운 적분 항등식을 유도한다.
• 오차 한계는 혼합 제2차 편도함수의 절대값의 가중합의 Lq노름에 대해 (b−a)(d−c)/16를 곱한 것으로 제시된다.
• p > 1일 경우 (p+1)^(-2/p) < 1 인 요소로 인해 이전의 추정치보다 더 날카로운 오차 추정치를 도출한다.
• 적분을 s = 1/2에서 분할하고 결과 식을 계산함으로써 오차 한계가 명시적으로 평가되며, 이는 모서리의 도함수 노름의 대칭 조합으로 나타난다.
• 최종 부등식은 오차가 네 모서리에서 혼합 편도함수의 Lq노름의 합의 1/4 배 이하로 bound됨을 보여준다.
• 1/4 < 1/(p+1)^(2/p) < 1 for p > 1 인 부등식을 통해 이전 추정치에 비해 개선됨이 정량적으로 확인된다.