[논문 리뷰] New Stability Results and Algorithms for Block Tridiagonal Systems, with Applications to Kalman Smoothing

Aleksandr Y. Aravkin, BRADLEY B. BELL외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 21.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 블록 삼중대각 시스템의 조건수와 칼만 스무딩의 안정성 사이의 연결고리를 확립하여, 불안정한 공식화가 어떻게 발생하고 어떻게 안정화할 수 있는지 밝혀낸다. 이는 전진 Rauch-Tung-Striebel 스무딩기가 조건수의 경계가 있는 재귀적 블록 조건수를 갖는 전진 토머스 알고리즘을 구현함을 증명하며, 전체 시스템의 조건수에 관계없이 안정성을 보장하는 새로운 뒤집힌 블록 삼중대각 토머스 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

Block tridiagonal systems play a key role in all Kalman smoothing applications, including the classic Rauch-Tung-Striebel smoother, as well as more modern variants that incorporate nonlinear models, inequality constraints on the state, and robust penalties on state and measurement components. The paper begins with a fundamental result that connects the condition number of a common block tridiagonal system to properties of the individual blocks. As a consequence, we obtain sufficient conditions for the stability of Kalman smoothing formulations. The result also illustrates how unstable Kalman smoothing problems can arise, and how to easily stabilize them. Then, turning our attention to algorithms, it is shown that the classic Rauch-Tung-Striebel smoother is an implementation of the forward Thomas algorithm for block tridiagonal systems. A flaw in the existing theory for characterizing the stability of the algorithm is revealed. A remedy is provided by proving a new stability result which shows that the condition number of every recursively modified block is bounded by the condition number of the whole system as the algorithm proceeds. Finally, a new backward block tridiagonal Thomas algorithm is presented. It is demonstrate that this algorithm behaves stably independent of the condition number of the full block tridiagonal system.

연구 동기 및 목표

• 블록 삼중대각 시스템의 조건수와 칼만 스무딩 공식화의 안정성 사이의 이론적 연결고리를 확립하기 위해.
• 칼만 스무딩에서의 불안정성의 근본 원인을 규명하고 안정화를 위한 충분한 조건을 제공하기 위해.
• 기존의 전진 토머스 알고리즘에 대한 안정성 이론에 존재하는 결함을 드러내고 수정하기 위해.
• 전체 시스템의 조건수에 관계없이 수치적 안정성을 보장하는 새로운 뒤집힌 블록 삼중대각 토머스 알고리즘을 개발하기 위해.

제안 방법

• 논문은 블록 삼중대각 시스템의 조건수와 그 개별 블록의 성질 사이의 기본적인 결과를 유도하여 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 기존의 Rauch-Tung-Striebel 스무딩기가 블록 삼중대각 시스템에 대한 전진 토머스 알고리즘과 동치임을 입증한다.
• 새로운 안정성 결과가 증명되며, 이는 알고리즘 진행 중 각 재귀적으로 수정된 블록의 조건수가 전체 시스템의 조건수에 의해 경계됨을 보여준다.
• 전체 시스템의 조건수에 관계없이 안정성을 보장하는 새로운 뒤집힌 블록 삼중대각 토머스 알고리즘을 제안한다.
• 다양한 조건수에서 전진 및 뒤집힌 알고리즘의 안정성 행동을 비교하기 위해 이론적 분석을 수행한다.
• 이론적 및 알고리즘적 발전을 비선형 및 제약 조건이 있는 변형을 포함한 칼만 스무딩에 적용하여 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블록 삼중대각 시스템의 조건수는 칼만 스무딩 공식화의 안정성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 블록 삼중대각 시스템에 적용된 전진 토머스 알고리즘의 기존 안정성 이론에 존재하는 결함는 무엇인가?
• RQ3 전체 시스템의 조건수에 관계없이 안정성을 보장할 수 있는 뒤집힌 블록 삼중대각 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 개별 블록의 성질은 칼만 스무딩에서 블록 삼중대각 시스템의 전체 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 불량한 조건수를 가진 칼만 스무딩 문제를 안정화하기 위한 충분한 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 전진 토머스 알고리즘 동안 전체 블록 삼중대각 시스템의 조건수가 재귀적으로 수정된 각 블록의 조건수를 경계하며, 이 경계에 따라 안정성이 보장된다.
• 기존의 Rauch-Tung-Striebel 스무딩기가 블록 삼중대각 시스템에 대한 전진 토머스 알고리즘의 공식적 구현임을 엄밀히 증명한다.
• 기존의 전진 알고리즘 안정성 이론에 존재하는 결함를 규명하고, 새로운 안정성 결과로 이를 수정한다.
• 제안된 뒤집힌 블록 삼중대각 토머스 알고리즘은 전체 시스템의 조건수에 관계없이 안정적인 행동을 보인다.
• 새로운 알고리즘은 시스템이 매우 불량한 조건수를 가질 경우에도 칼만 스무딩 문제의 강건한 해를 제공할 수 있다.
• 이론적 프레임워크는 블록 성질을 분석함으로써 불안정한 칼만 스무딩 공식화를 안정화하기 위한 명확한 충분 조건를 제공한다.