[논문 리뷰] New sufficient conditions of existence, moment estimations and non confluence for SDEs with non-Lipschitzian coefficients

Guangqiang Lan, Jiang-Lun Wu|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비리프시츠성이고 랜덤 계수를 가진 확률미분방정식(SDEs)의 강해의 존재성, 유일성 및 모멘트 추정에 대한 새로운 충분조건을 수립한다. η_R에 대한 적분 조건을 포함하는 국소적 약한 단조성 조건을 도입하고, 오일러 근사법을 사용하여 경로 유일성과 폭발 방지를 증명하며, 시변하지 않는 SDEs의 경우 시험 함수 접근법과 그론발라의 부등식을 통해 비융합 성질을 도출한다.

ABSTRACT

The object of the present paper is to find new sufficient conditions for the existence of unique strong solutions to a class of (time-inhomogeneous) stochastic differential equations with random, non-Lipschitzian coefficients. We give an example to show that our conditions are indeed weaker than those relevant conditions existing in the literature. We also derive moment estimations for the maximum process of the solution. Finally, we present a sufficient condition to ensure the non confluence property of the solution of time-homogeneous SDE which, in one dimension, is nothing but stochastic monotone property of the solution.

연구 동기 및 목표

• 비리프시츠성이고 랜덤 계수를 가진 시간비동질 SDEs의 강해 존재성과 유일성에 대한 새로운 충분조건을 수립하기.
• 기존 문헌보다 더 약한 조건 하에서 해의 최대 과정에 대한 모멘트 추정을 도출하기.
• 시간동질 SDEs의 해가 비융합 성질(비접촉)을 보장하는 충분조건을 제시하기, 이는 1차원에서 확률적 단조성과 동치이다.
• 예시를 통해 제안된 조건이 기존 문헌의 조건들, 예를 들어 [2] 및 [16]에서의 조건들보다 엄밀히 더 약한지를 보여주기.

제안 방법

• ∫₀⁺ dx/η_R(x) = ∞를 만족하는 함수 η_R를 포함하는 국소적 약한 단조성 조건을 도입하여, 고전적인 리프시츠 타입 가정을 일반화하기.
• SDE의 오일러 근사 체계를 사용하고, 균일한 강한 컴acts성과 근사 수열의 컴acts성으로 수렴을 증명하기.
• 두 해 간의 거리 과정을 분석하기 위해 Φ_δ(x) = exp(∫ₓ^{c₀} ds/(γ_R(s) + δ))로 구성된 철저한 시험 함수를 사용하여 이토의 공식을 적용하기.
• 시험 함수의 기대값에 그론발라의 부등식을 적용하여 해 경로가 만날 확률를 제어하고, 비융합 성질을 증명하기.
• 폭발과 융합 사건을 제어하기 위해 정지시간 τ_R, τ_ε, τ_ζ를 사용하여 과정을 국소화하기.
• 강한 마코프 성질과 경로 유일성을 활용하여 비융합 결과를 초기 시간 간격을 초월해 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 리프시츠 또는 선형 성장 가정보다 더 약한 충분조건이 비리프시츠 계수를 가진 SDEs의 강해 존재성과 유일성 보장에 가능할 수 있는가?
• RQ2 비리프시츠 조건 하에서 해의 최대 과정에 대해 어떤 모멘트 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ3 시간동질 SDE의 해가 융합(즉, 경로가 만남)을 피하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 전역 리프시츠 연속성 조건 없이도 시험 함수와 확률적 미적분 기법을 통해 비융합 성질을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• ∫₀⁺ dx/η_R(x) = ∞를 만족하는 제안된 국소적 약한 단조성 조건 (1.3)은 기존 문헌의 조건보다 엄밀히 더 약하다. 이는 기존 조건이 실패하나 새로운 조건은 성립하는 반례를 통해 입증되었다.
• 제안된 조건 (1.3) 하에서 오일러 근사와 컴acts성 추론을 통해 강해의 존재성과 경로 유일성이 증명되었다.
• 해의 최대 과정에 대한 모멘트 추정이 유도되었지만, 명시적인 닫힌 형태의 표현은 제시되지 않았다.
• 조건 (1.5) 하에서 해의 폭발이 보장되며, 이는 함수 γ에 대해 ∫_K^∞ dx/(γ(x)+1) = ∞를 만족함으로써 선형 성장 조건을 일반화한다.
• 시험 함수와 그론발라의 보조정리의 적용을 통해 시간동질 SDEs의 비융합 성질이 입증되었으며, 이는 두 해가 만날 확률이 0임을 보여준다.
• 증명 과정에서 해 과정이 펠러 성질을 가지며 강한 마코프 성질을 만족함을 보여주어, 비융합 결과를 연속된 시간 간격으로 확장할 수 있다.