[논문 리뷰] New tools in GeoGebra offering novel opportunities to teach loci and envelopes

Francisco Botana, Zoltán Kovács|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 30.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지오지브라의 새로운 궤적방정식(LocusEquation) 및 포락선(Envelope) 명령어를 소개하며, 교실 환경에서 직접 동적이고 기호 기반의 대수적 궤적 및 포락선 방정식 계산을 가능하게 한다. 기아크(Giac)와 싱귤러웹서비스(SingularWS) 등 고급 기계적 대수계산 시스템을 활용하고, 그뢰브너 커버(Gröbner cover) 알고리즘을 적용함으로써, 학생들과 교사들이 포물선, 스트로파이드, 카디오이드, 나이프로이드 등 복잡한 기하학적 궤적을 기호 기반으로 상호작용적으로 탐구할 수 있게 되었으며, 이는 모바일 기기에서도 가능하다. 이는 중등교육에서 동적 기하학과 분석적 엄밀함을 연결해 주는 것이다.

ABSTRACT

GeoGebra is an open source mathematics education software tool being used in thousands of schools worldwide. Since version 4.2 (December 2012) it supports symbolic computation of locus equations as a result of joint effort of mathematicians and programmers helping the GeoGebra developer team. The joint work, based on former researches, started in 2010 and continued until present days, now enables fast locus and envelope computations even in a web browser in full HTML5 mode. Thus, classroom demonstrations and deeper investigations of dynamic analytical geometry are ready to use on tablets or smartphones as well. In our paper we consider some typical secondary school topics where investigating loci is a natural way of defining mathematical objects. We discuss the technical possibilities in GeoGebra by using the new commands LocusEquation and Envelope, showing through different examples how these commands can enrich the learning of mathematics. The covered school topics include definition of a parabola and other conics in different situations like synthetic definitions or points and curves associated with a triangle. Despite the fact that in most secondary schools, no other than quadratic curves are discussed, simple generalization of some exercises, and also every day problems, will smoothly introduce higher order algebraic curves. Thus our paper mentions the cubic curve "strophoid" as locus of the orthocenter of a triangle when one of the vertices moves on a circle. Also quartic "cardioid" and sextic "nephroid" can be of every day interest when investigating mathematics in, say, a coffee cup. We also focus on GeoGebra specific tips and tricks when constructing a geometric figure to be available for getting the locus equation. Among others, simplification and synthetization (via the intercept theorem) are mentioned.

연구 동기 및 목표

• 중등학교 학생들과 교사들이 상호작용적이고 동적인 기하학 환경 내에서 기호 대수 계산을 통해 기하학적 궤적과 포락선을 탐구할 수 있도록 하는 것.
• 순수한 시각적 또는 수치적 궤적 탐지의 한계를 보완하기 위해 궤적과 포락선에 대한 검증된 대수 방정식을 제공하는 것.
• 기존의 기본적인 원뿔곡선을 넘어서, 스트로파이드, 카디오이드, 나이프로이드와 같은 고차수 대수 곡선을 고급 계산 방법을 통해 지오지브라의 기능을 확장하는 것.
• 태블릿과 스마트폰과 호환되는 접근성 있는 웹 기반 도구를 통해 교실에 고급 기하 개념을 통합하는 것.
• 커피잔 안의 광선 굴절 현상과 같은 실제 세계 현상인 캐우스틱(caustics)을 통해 고차수 곡선을 가르치는 것이 가능하고, 그 교육적 가치를 입증하는 것.

제안 방법

• 지오지브라 4.2 버전 이후에 통합된 LocusEquation 명령어를 구현하여, 기계적 대수계산 시스템(CAS)인 Reduce와 Giac를 활용해 기호 기반 궤적 계산을 수행하는 것.
• 싱귤러웹서비스(SingularWS)를 지오지브라와 통합하여, 그뢰브너 커버(grobcov) 알고리즘을 사용해 복잡한 궤적과 포락선 계산을 외부로 위탁하는 것.
• 그뢰브너 커버 방법을 적용해, 예를 들어 삼차 곡선인 스트로파이드, 사차 곡선인 카디오이드, 육차 곡선인 나이프로이드와 같은 비이차 곡선의 대수 방정식을 계산하는 것.
• 매개변수를 가진 점과 변환(예: 중점, 반사)을 사용한 기하 구조를 통해 궤적을 정의하고, 이를 LocusEquation로 분석하는 것.
• 광학적 캐우스틱 시뮬레이션에서 동시 및 평행 광선 모델을 사용해 나이프로이드를 포락선으로 계산하는 것. 평행 광선의 경우 계산 복잡도가 높아, Giac만으로는 처리가 어려우나, --singularws=enable:true 명령어를 사용하면 성공적으로 계산이 가능하다.
• 대수적 증명(예: 접선 조건에서 판별식이 0임을 보여주는 것)과 기하학적 추론을 통해 결과를 검증하고, 중등학교 교육 과정과 일치시키는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지오지브라의 LocusEquation 및 Envelope 명령어를 어떻게 활용하여 포물선과 같은 원뿔곡선의 대수적 정의를 동적이고 상호작용적으로 가르칠 수 있는가?
• RQ2 현대 계산 도구를 통해 스트로파이드, 카디오이드, 나이프로이드와 같은 고차수 대수 곡선을 궤적 또는 포락선으로 생성하고 연구할 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ3 예를 들어 커피잔 안의 빛줄기 가족에서 포락선을 계산할 때 발생하는 기술적·교육적 과제는 무엇이며, 외부 기계적 대수계산 시스템(CAS) 서비스를 통해 어떻게 이를 극복할 수 있는가?
• RQ4 웹 기반 및 모바일 환경에서 궤적과 포락선의 기호 기반 계산을 어떻게 접근 가능하고 효율적으로 만들 수 있는가?
• RQ5 이러한 새로운 지오지브라 도구들이 기하학, 대수학, 실제 세계 현상(예: 커피잔의 캐우스틱) 간의 연결 고리를 학생들이 이해하는 데 어떻게 기여할 수 있는가?

주요 결과

• 지오지브라 4.2 이상 버전의 LocusEquation 명령어는, 예를 들어 원의 반지름 중점 궤적에 대해 $x^2 - 6x + y^2 - 4y = -9$ 와 같은 암묵적 대수 방정식을 자동으로 계산할 수 있다.
• 싱귤러웹서비스(SingularWS)와 그뢰브너 커버 방법으로 구동되는 Envelope 명령어는 나이프로이드(육차 곡선)와 같은 복잡한 포락선을 반사된 빛줄기의 집합으로부터 성공적으로 계산하였다.
• 평행 광선에 의한 나이프로이드의 경우, 기존의 Giac만으로는 계산 속도가 너무 느리지만, --singularws=enable:true 명령어를 사용하면 성공적으로 계산이 가능하며, 인수분해를 통해 추가 성분을 분리할 수 있었다.
• 초점이 (0,1)이고 준선이 y=0인 타원의 접선 세그먼트 AB를 통해 포물선을 구성한 경우, 교차 방정식의 판별식이 0임을 보여 기하학적으로 접선임을 증명하였다.
• 한 꼭짓점이 원을 따라 움직일 때 삼각형의 수심이 움직이는 궤적은 스트로파이드가 되며, 이는 비이차 곡선인 삼차 곡선을 동적 기하학을 통해 접근 가능함을 보여준다.
• 지오지브라에 기호 계산을 통합함으로써, 고급 곡선과 실제 세계 현상(예: 커피잔의 캐우스틱)을 기초 대수 지식 없이도 교실에서 활용할 수 있게 되었다.