[논문 리뷰] New topics in ergodic theory

Francesco Fidaleo|ArXiv.org|2007. 02. 05.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 연산자에 기반한 $C^*$-다이나믹스 시스템에서 여러 케사로 평균의 약한 연산자 위상에서의 수렴성을 확립하며, 유니터리 연산자에 의해 구현된 자동형사의 시간 평균이 유니터리 연산자의 스펙트럼 프로젝션에 의해 생성된 부분대수 위로의 조건부 기댓값으로 수렴함을 증명한다. 핵심 결과는 약한 혼합 동역학 하에서 양의 컴팩트 연산자에 대한 재귀 부등식으로, 다중 상관관계의 장기 평균이 양수임을 보장한다.

ABSTRACT

The entangled ergodic theorem concerns the study of the convergence in the strong, or merely weak operator topology, of the multiple Cesaro mean $$\frac{1}{N^{k}}\sum_{n_{1},...,n_{k}=0}^{N-1} U^{n_{\a(1)}}A_{1}U^{n_{\a(2)}}... U^{n_{\a(2k-1)}}A_{2k-1}U^{n_{\a(2k)}} ,$$ where $U$ is a unitary operator acting on the Hilbert space $H$, $\a:\{1,..., m\}\mapsto\{1,..., k\}$ is a partition of the set made of $m$ elements in $k$ parts, and finally $A_{1},...,A_{2k-1}$ are bounded operators acting on $H$. While reviewing recent results about the entangled ergodic theorem, we provide some natural applications to dynamical systems based on compact operators. Namely, let $(\mathfrak A,α)$ be a $C^{*}$--dynamical system, where $\mathfrak A=K(H)$, and $α=ad(U)$ is an automorphism implemented by the unitary $U$. We show that $$\lim_{N o+\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}α^{n}=E ,$$ pointwise in the weak topology of $\K(H)$. Here, $E$ is a conditional expectation projecting onto the $C^{*}$--subalgebra $$\bigg(\bigoplus_{z\inσ_{\mathop{ m pp}}(U)} E_{z}B(H)E_{z}\bigg)\bigcap K(H) .$$ If in addition $U$ is weakly mixing with $Ω\in H$ the unique up to a phase, invariant vector under $U$ and $ω=$, we have the following recurrence result. If $A\in K(H)$ fulfils $ω(A)>0$, and $00$$ for each $N>N_{0}$.

연구 동기 및 목표

• 컴 pact 연산자 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 를 대수로 갖는 $C^*$-다이나믹스 시스템의 에르고딕 성질을 조사한다.
• 유니터리 연산자 $U$ 에 의해 구현된 자동형사의 시간 평균 수렴 행동을 규명한다.
• 엔털글드 에르고딕 정리(Entangled Ergodic Theorem)를 활용해 약한 혼합 시스템에서 양의 컴팩트 연산자에 대한 재귀 결과를 수립한다.
• 유니터리 연산자의 순수 점 스펙트럼과 관련된 특정 $C^*$-부분대수 위로의 케사로 평균의 극한을 조건부 기댓값으로 특성화한다.

제안 방법

• 엔털글드 에르고딕 정리를 활용해 유니터리 $U$ 와 유계 연산자 $A_i$ 를 포함한 다중 연산자 평균의 수렴성을 분석한다.
• 스펙트럼 이론을 적용해 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 를 고유값 $z \in \sigma_{\text{pp}}(U)$ 에 대응하는 스펙트럼 부분공간 $E_z\mathcal{H}$ 로 분해한다.
• 유니터리의 순수 점 스펙트럼에 대응하는 부분대수 위로 사영하는 조건부 기댓값 $E$ 를 구성한다: $\left(\bigoplus_{z \in \sigma_{\text{pp}}(U)} E_z \mathcal{B}(\mathcal{H}) E_z\right) \cap \mathcal{K}(\mathcal{H})$.
• 약한 연산자 위상 수렴과 트레이스 클래스 근사 기법을 활용해 컴팩트 연산자에서의 수렴을 일반 트레이스 클래스 연산자로 확장한다.
• 폴라라이제이션과 유한 랭크 근사 기법을 통해 분석을 랭크-원 양의 연산자로 축소한다.
• 평균 에르고딕 정리와 스펙트럼 프로젝션 기법을 적용해 다중 상관관계 평균이 $\omega(A)^{l+1} > 0$ 으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자동형사 $\alpha = \text{Ad}_U$ 에 대해, $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 에서 약한 위상에서 케사로 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n$ 이 수렴하는가?
• RQ2 자동형사 $\alpha$ 가 유니터리 $U$ 에 의해 구현될 때, 극한 연산자의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 약한 혼합 동역학 하에서 양의 컴팩트 연산자의 다중 상관관계에 대해 재귀 유형의 부등식을 확립할 수 있는가?
• RQ4 유니터리 연산자의 순수 점 스펙트럼은 자동형사 $\alpha^n$ 의 시간 평균 극한의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 대부분의 $N$ 에 대해 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\omega(A\alpha^{nm_1}(A)\cdots\alpha^{nm_l}(A))$ 이 양수로 유지되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 케사로 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n$ 이 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 에서 약한 연산자 위상에서 조건부 기댓값 $E$ 로 수렴하며, 이는 부분대수 $\left(\bigoplus_{z \in \sigma_{\text{pp}}(U)} E_z \mathcal{B}(\mathcal{H}) E_z\right) \cap \mathcal{K}(\mathcal{H})$ 위로의 사영이다.
• 만약 $\sigma_{\text{pp}}(U) = \emptyset$ 이면, 케사로 평균은 약한 위상에서 0으로 수렴한다.
• 만약 $\sigma_{\text{pp}}(U) = \{1\}$ 이며 유일한 불변 벡터 $\Omega$ 가 존재하면, 극한은 $\omega(\cdot)E_1$ 이며, 여기서 $\omega = \langle\cdot\Omega,\Omega\rangle$ 이다.
• 약한 혼합 $C^*$-다이나믹스 시스템에서 $\mathfrak{A} = \mathcal{K}(\mathcal{H})$ 이고, $A \in \mathcal{K}(\mathcal{H})$ 에 대해 $\omega(A) > 0 $ 이면, 다중 상관관계 평균은 모든 $N > N_0$ 에 대해 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\omega(A\alpha^{nm_1}(A)\cdots\alpha^{nm_l}(A)) > 0$ 을 만족한다.
• 다중 상관관계 평균의 극한은 $\omega(A)^{l+1} > 0$ 이며, 엔털글드 에르고딕 정리와 스펙트럼 프로젝션 기법을 통해 증명된다.
• 조건부 기댓값 $E$ 가 컴팩트 연산자를 컴팩트 연산자로 보존하며, 트레이스 클래스 근사와 유한 랭크 축소를 통해 약한 연산자 위상 수렴이 증명된다.